Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Кривые B-spline: Важные Свойства

Читайте также:
  1. A. электроноакцепторными свойствами атома азота
  2. B-spline: Мотивация
  3. IV ПОЛЕЗНЫЕ СВОЙСТВА ПРОДУКТОВ
  4. V1: Понятие логистики. Сущность и свойства логистической системы
  5. XI. ПРИСПОСОБЛЕНИЕ И ДРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ, СВОЙСТВА. СПОСОБНОСТИ И ДАРОВАНИЯ АРТИСТА
  6. Анализ потребительского выбора (бюджетное ограничение, кривые безразличия, оптимум, эффекты)
  7. Базисные Функции B-spline: Определение

У кривых B-spline много свойств, схожих с кривыми Безье, так как они являются обощением последних. Более того, кривые B-spline имеют больше желаемых свойств, чем кривые Безье. На этой странице перечислено большинство важных свойств B-spline. Мы рассмотрим только фиксированные кривые B-spline.

В дальнейшем будем считать, что кривая B-spline p (u) степени p определяется n + 1 контрольными точками, узловым вектором U = { u 0, u 1,...., um } с первыми p +1 и последними p +1 "склеенными" узлами (т.e. u 0 = u 1 =... = up и um-p = um-p +1 =... = um).

  1. Кривая B-spline p(u) является кусочной кривой, каждый компонент которой - кривая степени p.
    Как упоминалось на предыдущей странице, p (u) можно представить как объединение отрезков кривых, построенных на каждом узловом интервале. На рисунке ниже, при n = 10, m = 14 и p = 3, четыре первых и четыре последних узла фиксированы, а 7 средних узлов равномерно распределены. Всего 8 узловых интервалов, каждый из которых соответствует отрезку кривой. Делящие точки - это p (ui). На рисунке слева эти точки показаны треугольниками.

Это полезное свойство дает нам возможность проектировать кривые очень сложных форм, используя многочлены низких степеней. Например, ниже правый рисунок показывает кривую Безье с тем же набором контрольных точек. Кривая не очень-то следует за контрольной ломаной, а ее степень равна 10!

В общем случае, чем меньше степень, тем сильнее кривая B-spline приближается к ее контрольной ломаной. На рисунках далее показаны кривые с одной и той же контрольной ломаной, их узлы фиксированы и равномерно распределены. На первом рисунке кривая 7 степени, на среднем - 5, а на правом - 3. Таким образом, при увеличении степени полученный B-spline приближается к его контрольной ломаной.

  1. Равенство m = n + p + 1 должно выполняться
    Так как для каждой контрольной точки нужна базисная функция и количество базисных функций удовлетворяет условию m = n + p + 1.
  2. Фиксированный кривая B-spline p(u) проходит через две крайние контр. точки p0 и p n
    Заметьте, что базисная функция N 0, p (u) - это коэффициент контрольной точки p 0 и не равна нулю на [ u 0, up +1). Так как u 0 = u 1 =... = up = 0 для фиксированной кривой B-spline, N 0,0(u), N 1,0(u),...., Np -1,0(u) равны нулю и только Np ,0(u) не равно нулю (вспомните из треугольной формы расчета). Следовательно, когда u = 0, N 0, p (0) равно 1 и p (0) = p 0. Аналогичные рассуждения могут показать, что p (1) = p n
  3. Свойство Сильного Ограничивающего Многоугольника [Strong Convex Hull Property]: кривая B-spline содержится в ограничивающем многоугольнике ее контрольной ломаной. Говоря точнее, если u лежит на узловом интервале [ ui, ui +1), то p(u) находится в ограничивающем многоугольнике контр. точек p i-p, p i-p +1,..., p i
    Если u лежит на узловом интервале [ ui, ui +1), есть только p +1 базисных функций (i.e., Ni , p (u),..., Ni-p +1, p (u), Ni-p , p (u)), ненулевых на этом узловом интервале. Так как Nk,p (u) - это коэффициент контр. точки p k, только p +1 контр. точек p i, p i -1, p i -2,.., p i-p имеют ненулевые коэффициенты. Так как на этом узловом интервале базисные функции не равны нулю и в сумме составляют 1, их точка "среднего взвешенного", p (u), должна находится внутри ограничивающего многоугольника контр. точек p i, p i -1, p i -2,.., p i-p. Значение слова "сильный" в том, что кроме того, что p (u) лежит внутри ограничивающего многоугольника всех точек, она находится еще и внутри гораздо меньшего многоугольника.

Две показаные выше кривые B-spline имеют 11 контр. точек (т.e. n = 10), 3 степени (т.e. p =3) и 15 узлов (m = 14), четыре первых и четыре последних узла фиксированы. Таким образом, количество узловых интервалов равно количеству отрезков кривых. Узловой вектор - это

u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 u 11 u 12 u 13 u 14
        0.12 0.25 0.37 0.5 0.62 0.75 0.87        

На рисунке слева u лежит на узловом интервале [ u 4, u 5) = [0.12,0.25), а соответствующая точка (т.e. p (u)) - на втором отрезке кривой. Таким образом, p +1 = 4 базисных функции - ненулевые на этом интервале (т.e. N 4,3(u), N 3,3(u), N 2,3(u) и N 1,3(u)), а соответствующие контрольные точки - это p 4, p 3, p 2 и p 1. Темная область - это огранич. многоугольник для этих четырех точек. Ясно, что p (u) лежит в этом многоугольнике.

Кривая B-spline на правом рисунке описывается так же. Но в данном случае u на интервале [ u 9, u 10) = [0.75,0.87) и ненулевые функции - это N 9,3(u), N 8,3(u), N 7,3(u) и N 6,3(u). Соответствующие контрольные точки - p 9, p 8, p 7 и p 6.

Следовательно, когда u движется от 0 к 1 и переходит узел, базисные функции становятся нулями, а новая базисная функция становится эффективной. В результате одна контрольная точка, коэффициент которой становится равным 0, выходит за пределы огранич. многоугольника и заменяется новой контрольной точкой, коэффициент которой не равен нулю.

  1. Схема Локального Изменения [Local Modification Scheme]: имзенение положения контрольной точки p i влияет только на кривую p(u) на интервале [ ui, ui+p +1)
    Это следует из другого важного свойства базисных функций B-spline. Вспомним, что Ni,p (u) не равно нулю на интервале [ ui, ui+p +1). Если u не на этом интервале, то Ni,p (u) p i не влияет на вычисление p (u), так как Ni,p (u) равно нулю. С другой стороны, если u находится в указанном интервале, Ni,p (u) не равно нулю. Если p i изменяет положение, Ni,p (u) p i тоже изменяется и, следовательно, изменяется и p (u).

Вышеуказанные кривые B-spline имеют те же параметры, что и в предыдущем примере. Переместим контр. точку p 2. Коэффициент этой контр. точки равен N 2,3(u), а интервал, на котором этот коэффициент не равен нулю - это [ u 2, u 2+3+1) = [ u 2, u 6) = [0,0.37). Так как u 2 = u 3 = 0, то только три отрезка, соответствующих [ u 3, u 4) (область первого отрезка кривой), [ u 4, u 5) (область второго отрезка кривой) и [ u 5, u 6) (область третьего отрезка кривой) будут затронуты. Рисунок справа показывает результат перемещения p 2 в правый нижний угол. Как видите, только первый, второй и третий отрезки кривой изменили форму, а все остальные остались неизменными.

Эта схема локального изменения очень важна для проектирования кривых, потому что можно изменять кривую локально, не изменяя форму кривой в целом. Более того, если нужна точная настройка кривой, можно добавить больше узлов (соответственно, и контр. точек) так, чтобы зона изменения была очень малой областью. Мы поговорим об добавлении узлов позже.

  1. p(u) имеет непрерывность Cp-k в узле множественности k
    Если u - это не узел, то p (u) находится в середине отрезка кривой степени p, и поэтому бесконечно дифференцируема. Если u - это узел на ненулевой области определения Ni,p (u), так как последняя только Cp-k -непрерывна, то и p (u) тоже.

Вышеуказанная кривая имеет 18 контр. точек (т.e. n = 17), степень, равную 4, и следующий фиксированный узловой вектор

от u 0 до u 4 u 5 u 6 и u 7 u 8 от u 9 до u 11 u 12 от u 13 до u 16 u 17 от u 18 до u 22
  0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875  

Таким образом, u 6 является двойным узлом, u 9 тройным узлом, а u 13 - четверным. Следовательно, p (u) имеет непрерывность C 4 в любой точке, не являющейся узлом, непрерывность C 3 во всех простых узлах, непрерывность C 2 в u 6, непрерывность C 1 в u 9, непрерывность C 0 в u 13.

Все точки на кривой, соответствующие узлам, обозначены маленькими треугольниками, соответствующие множественным узлам - окружностями с числом, указывающим их множественность. Очень сложно зрительно показать разницу между непрерывностями C 4, C 3 и даже C 2. Для случая C 1 соответствующая точка лежит на сегменте, тогда как в случае C 0 кривая проходит через контрольную точку. Мы еще вернемся к этому позднее, при обсуждении изменения узлов.

  1. Свойство Уменьшения Изменчивости [Variation Diminishing Property]:
    Свойство уменьшения изменчивости также подходит и для кривых B-spline. Если кривая на плоскости (соотв., в пространстве), это значит, что не существует прямой (соотв., плоскости), пересекающей кривую B-spline больше раз, чем ее контрольную ломаную.

На рисунке выше синяя линия пересекает как контрольную ломаную, так и кривую B-spline 6 раз, тогда как желтая линия пересекает их по 5 раз. Однако оранжевая линия пересекает контрольную ломаную 6 раз, а кривую 4 раза.


Дата добавления: 2015-10-29; просмотров: 157 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Рекурсивное Представление | Объединение Двух Кривых Безье с соблюдением C1-Непрерывности | Соотношение Между Производной и Алгоритмом de Casteljau | Разбиение Кривой Безье | Повышение Степени Кривой Безье | B-spline: Мотивация | Базисные Функции B-spline: Определение | Два Важных Замечания | Влияние Множественных УзлоFF | Множественные Узлы |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Кривые B-spline: Определение| Кривые B-spline: Вычисление Коэффициентов

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)