Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Некоторые Полезные Следствия Свойства Сильного Ограничивающего Многоугольника

Читайте также:
  1. A. электроноакцепторными свойствами атома азота
  2. IV ПОЛЕЗНЫЕ СВОЙСТВА ПРОДУКТОВ
  3. V1: Понятие логистики. Сущность и свойства логистической системы
  4. XI. ПРИСПОСОБЛЕНИЕ И ДРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ, СВОЙСТВА. СПОСОБНОСТИ И ДАРОВАНИЯ АРТИСТА
  5. Анализ, оценка степени риска и последствия риска
  6. Антропогенная деградация почв, причины, последствия и меры предупреждения.
  7. Ая основа – Хаджури назвал некоторые действия посланника Аллаха ошибкой, и сказал, что посланник Аллаха ошибся в средствах призыва.

Вспомним из свойства сильного ограничивающего многоугольника, что, если u лежит на [ui,ui+1), то p(u) лежит в ограничивающем многоугольнике, описываемом контр. точками pi, pi-1, ..., pi-p+1, pi-p. Это поможет нам решить следующие задачи в проектировании кривых:

  1. Сделаем криволинейный отрезок отрезком прямой: пусть p+1 контр. точек будут коллинеарными
    Если u лежит на узлово интервале [ui,ui+1), то p(u) лежит внутри ограничивающего многоугольника для p+1 контрольных точек pi, pi-1, ..., pi-p+1, pi-p. Так как это верно для всех u на этом интервале, то отрезок кривой, находящийся на этом узловом интервале, лежит целиком в этом оганичивающем многоугольнике. Все эти p+1 контрольных точек являются коллинеарными (т.e. лежат на одной прямой), ограничивающий многоугольник вырождается в отрезок прямой, то же самое. происходит и с содержащимся в нем отрезком кривой. В итоге, отрезок кривой на узловом интервале [ui,ui+1) становится отрезком прямой. Заметьте, что в этом случае отрезком прямой становится только этот отрезок кривой. Остальные отрезки остаются криволинейными.

А вот вам и пример. На рисунках изображены кривые, для которых n = 15 (т.e. 16 контр. точек), p = 3 (степень равна 3), а m = 19 (т.e. 20 узлов). Заметьте, что первые четыре и последние четыре фиксированы. На рисунке слева в верхнем ряду исходная кривая. Давайте-ка сделаем p9, p8, p7 и p6 колинеарными. Таким образом, отрезок кривой [u9,u10) лежит внутри огр. многоугольника точек p9, p8, p7 и p6. Так как этот многоугольник является отрезком прямой, то криволинейный отрезок также становится линейным. Но надо помнить, что первые четыре узла фиксированы и поэтому первых трех узловых интервалов нет. Так как [u9,u10) - это седмой узловой интервал, седьмой сегмент вырождается в отрезок прямой p7p8. Это показано на втором, третьем и четвертом рисунках.

Но почему вырождается только отрезок кривой на [u9,u10) ? Взгляните на второй рисунок. Темная область - это огранич. многоугольник прямо перед вхождением u в [u9,u10). Этот огранич. многоугольник образуется точками p8, p7, p6 и p5, и еще не является отрезком прямой. Как только u входит в [u9,u10), отрезок кривой вырождается (третий рисунок). Сразу после того, как u выходит из [u9,u10), появляется новый огранич. многоугольник (четвертый рисунок).

На пятом рисунке p5 коллинеарна со следующими за ней четырьмя точками. На этой кривой еще один линейный отрезок. На шестом рисунке p10 коллинеарна с предшествующими ей пятью точками; тем не менее, она перемещена в положение между p8 и p9. Это должно сделать часть соответствующего отрезка кривой линейным (почему?)

  1. Сделаем так, чтобы кривая B-spline проходила через контрольную точку: пусть p смежных контрольных точек будут одинаковыми
    Возьмем контр. точку pi. Так как отрезок кривой на узловом интервале [ui, ui+1) лежит целиком внутри огранич. многоугольника точек pi, ..., pi-p+1,pi-p, то, если сделать первые p контр. точек одинаковыми (т.e. pi = pi-1 = ... = pi-p+1), то огр. многоугольник сожмется до отрезка прямой pi-ppi, а кривая должна будет пройти через точку pi.



Степень кривой на левом рисунке равна 3. Если p5 переместить и сделать одинаковой с p6, кривая сместится ближе к p6, но все же не пройдет через нее. Это показано на среднем рисунке. Заметьте, что количество отрезков кривой от этого перемещения не изменяется; тем не менее, маленькая треугольная отметка рядом с p5 двигается ближе кp6.

Если p4 сместить и сделать одинаковой с p6 = p5, кривая пройдет через p6, а точка, соответствующая узлу, станет идентичной контрольной точке p4 из-за этого перемещения.

  1. Сделаем кривую B-spline касательной сегменту контрольной ломаной: пусть pi-p, pi-p+1 = pi-p+2 = .... = pi-1 = pi и pi+1 будут коллинеарны
    Здесь p контр. точек делаются одинаковыми. В этой контрольной точке непрерывность C0, потому что кривая имеет точку перегиба (или пересечения? блин) (смотри правый рисунок). Тем не менее, когда все узлы простые, кривая является Cp-1-непрерывной в узлах и бесконечно дифференцируемой в остальных местах, поэтому она является Cp-1-непрерывной в контрольнйо точке pi (сжатая контр. точка, перенумерованная в i) на сегменте pi-ppi, а также Cp-1-непрерывной в контрольной точке pi на сегменте pipi+1. Таким образом, если сделать контр. точки pi-p, pi и pi+1 колинеарными, то из-за того, что два смежных отрезка кривой не имеют точки перегиба в узле, они будут Cp-1-непрерывными в pi.

Загрузка...

На рисунках выше - кривые 2 степени. Если сделать контр. точки 2, 3, 4 и 5 колинеарными, а 3 и 4 совместить, получим правый рисунок. Колинеарность делает отрезок кривой лежащим на прямой, а совмещенные контр. точки дают C3-1 = C2-непрерывность.


Дата добавления: 2015-10-29; просмотров: 155 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Разбиение Кривой Безье | Повышение Степени Кривой Безье | B-spline: Мотивация | Базисные Функции B-spline: Определение | Два Важных Замечания | Влияние Множественных УзлоFF | Множественные Узлы | Кривые B-spline: Определение | Кривые B-spline: Важные Свойства | Кривые B-spline: Вычисление Коэффициентов |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Кривые B-spline: Перемещение Контрольных Точек| NURBS: Определение

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.007 сек.)