Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

NURBS: Определение

Читайте также:
  1. I. Определение терминов.
  2. I. Определение экономической эффективности
  3. I.1.1. Определение границ системы.
  4. NURBS: Изменение Весов
  5. Q: Какое определение спиральной модели жизненного цикла ИС является верным
  6. А) Определение сульфидом натрия.

Давайте рассмотрим способ введения [homogeneous] координат в кривые B-spline и найдем определение NURBS.

Дано n+1 контр. точек p0, p1, ..., pn и узловой вектор U = { u0, u1, ..., um } из m+1 узлов, кривая B-spline степени p описывается этими параметрами так:

Перепишем контр. точку pi в виде вектора-столбца с четырьмя составляющими, четвертая из которых равна 1:

Для [homogeneous] координат, умножение координат точки на не равное нулю число не изменяет ее положения. Умножим координаты pi на wi, чтобы получить новую форму [homogeneous] координат:

Подставляя эту новую [homogeneous] форму в вышеуказанное уравнение кривой B-spline, получим следующее:

Таким образом, точка p(u) получается также в [homogeneous] координатной форме. Преобразуем ее обратно в Декартовы координаты делением p(u) на четвертую кординату:

В итоге получим такой понятный вид:

Это кривая NURBS степени p, описываемая контр. точками p0, p1, ..., pn, узловым вектором U = { u0, u1, ..., um }, и весами w0, w1, .., wn. Заметьте, что так как вес wi связан с четвертой составляющей соотв. контр. точки pi, то количество весов и количество контр. точек должны быть одинаковыми.

В общем случае, весы wi положительны; но отрицательные весы имеют интересные приложения. Если вес, скажем, wi, становится равным нулю, то коэффициент при pi равен нулю и, следовательно, контр. точка pi не влияет на вычисление p(u) для любого u (т.e. pi "выключена"). Кроме того, нулевые весы также имеют полезные интерпретации, называемые бесконечными контр. точками. Мы обсудим это понятие позже.

Два Прмых Следствия [Two Immediate Results]

Вот два результата, следующих прямо из определения.

  1. Если все весы равны 1, кривая NURBS вырождается в B-spline.
    Это очевидно, так как в этом случае точки в [homogeneous] координатах идентичны их Декартовой форме и знаменатель равен 1.
  2. Кривые NURBS - Рациональные
    Это также очевидно. Значение, умноженное на контрольную точку pi, Ni,p(u)wi, - это многочлен степени p. Знаменатель - это сумма всех коэффициентов, и поэтому также является многочленом степени p. В итоге, коээфициент контр. точки pi равен частному двух многочленов степени p и функция p(u) - рациональная.

Два этих результата указывают на то, что кривые B-spline - это частный случай кривых NURBS. Более того, так как кривые NURBS - рациональные, то окружности, эллипсы и многие другие кривые можно представить с помощью кривых NURBS.


Дата добавления: 2015-10-29; просмотров: 239 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Повышение Степени Кривой Безье | B-spline: Мотивация | Базисные Функции B-spline: Определение | Два Важных Замечания | Влияние Множественных УзлоFF | Множественные Узлы | Кривые B-spline: Определение | Кривые B-spline: Важные Свойства | Кривые B-spline: Вычисление Коэффициентов | Кривые B-spline: Перемещение Контрольных Точек |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Некоторые Полезные Следствия Свойства Сильного Ограничивающего Многоугольника| Важные Свойства Кривых NURBS

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.006 сек.)