Читайте также: |
|
Пусть и
- два базиса в пространстве
. Обозначим через
матрицу перехода от базиса
к базису
. Элементы матрицы
индексируем так:
, где
- элемент i-ой строки и j-ого столбца. Тогда имеем:
и
.
Это стандартное обозначение: чтобы суммирование велось по индексу, встречающемуся сверху и снизу. В некоторых книгах знак суммы опускают и пишут: . Но мы так делать не будем: все суммы будем прописывать полностью.
Пусть теперь - дуальный базис к базису
, а
- дуальный к базису
в пространстве
. Обозначим через
матрицу перехода от базиса
к базису
в пространстве
. Тогда
. Чтобы следовать правилу “разных уровней” (т.е. чтобы индекс суммирования появился сверху и снизу), обозначим через
- транспонированная матрица
. Тогда
. Эту формулу мы запишем следующим образом. Поскольку
, то
, т.е.
. Введём вспомогательную матрицу
. Тогда
, т.е.
. Т.к. базисы дуальны
. Т.е.
и
. Отсюда
.
Пусть теперь и
- его координаты в
, а
- координаты в базисе
. Тогда
,
.
(6)
Выразим (аналогично выражаем
) и подставим в формулу (6). Получим
. Здесь мы использовали, что
и аналогичные выражения для
. Т.к. элементы
образуют базис пространства
, то нами доказана следующая
Теорема. При переходе от базиса к базису
в
координаты тензора
типа
изменяются по правилу:
, где
- матрица перехода от базиса
к базису
пространства
, а
.
6. Свёртки тензоров.
Пусть - тензор типа
. Зафиксируем числа
и
, и определим свёртку по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу следующим образом. Т.к.
, где
, а
, то можно определить сумму
, где
- базис
, а
- дуальный базис
.
Определение. называется свёрткой тензора
по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу.
Ясно, что - полилинейная функция от оставшихся аргументов, т.е.
. Докажем, что
не зависит от выбора базиса пространства
.
Доказательство: пусть - другой базис пространства
, а
- матрица перехода от базиса
к базису
. Тогда
. Напомним, что для дуальных базисов имеем:
, где
(смотри доказательство предыдущей теоремы). Зафиксируем для удобства все остальные переменные у
кроме
и
, обозначим
. Тогда
. Получаем:
.
Заметим, что - произведение i-ой строки матрицы
на j-ый столбей матрицы
. Т.к.
эта сумма равна
,
.
23.04.2005
Связь координат тензора T и его свертки .
Теорема. Свертка по s-тому ковариантному и r-тому контравариантному индексам тензора T типа (p,q) является тензором типа (p-1,q-1) с координатами
То, что свертка – тензор типа - проверено. Пусть
, где
. Как и раньше, обозначим через
. Обозначим
. Тогда
.
Знак «домик» означает пропуск соотв. индекса (т.е. ). Соотношение (1) и есть утверждение теоремы.
Пример. Тензор типа (1,1) - это матрица
. Его свертка равна
- след матрицы A.
Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 318 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
КВАДРИКИ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ | | | Закон Ома. Сопротивление и проводимость |