Квадратичные формы

Опр. - квадратичная форма, если $ симметричная билинейная форма , такая, что В этом случае говорят, что - полярная билинейная форма для q.

Предложение. Полярная БФ определена однозначно, если

ð

Опр. Матрица квадратичной формы q в базисе - матрица ее полярной БФ.

Пример. Пусть для . Тогда .

Опр. Ранг квадратичной формы – ранг полярной БФ.

Опр. - невырожденная квадратичная форма, если (т.е. )

Опр. Канонический вид квадратичной формы

Опр. Нормальный вид квадратичной формы , и все

Алгоритм Лагранжа (приведения к каноническому виду).

Пусть . Метод заключается в выделении полных квадратов.

ð (1) Пусть , например, . Тогда где т.е. p (x) не зависит от x ₁. Положим

Тогда , где Следовательно, и можно считать, что C ^-1 - матрица перехода к некоторому новому базису, в котором вектор имеет вид

По индукции $ невырожденная замена переменных такая, что Положим Тогда где и - координаты в некотором базисе, т.к. Y = DX, и

(2) Предположим, что Пусть . Сделаем замену Тогда и где в нет Далее как в п. (1).

(3) Все ð

8. Вещественные квадратичные формы

Пусть V – пространство над - квадратичная форма на V. Тогда в V существует базис, в котором q (x) имеет нормальный вид где - не зависит от выбора базиса.

Теорема. (закон инерции) Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса (т.е. s и r-s всегда одни и те же).

Пусть (в базисе ) (в базисе ). Предположим, что t < s. Обозначим Тогда Пусть Т.к. то где Аналогично, q (a) £ 0 т.к. Противоречие. Следовательно, t не может быть меньше s и наоборот. ð

Опр. Если то s – положительный индекс инерции, а число (r – s) – отрицательный индекс инерции q.

Опр. Квадратичные формы p (x) и q (x) эквивалентны, если существует невырожденная матрица A, такая, что , где P и Q – матрицы p и q.

Следствие. Формы p(x) и q(x) эквивалентны Û положительные и отрицательные индексы инерции совпадают.

ð 1) Ü Приведем к нормальному виду.

2) Þ аналогично. ð

---

Дата добавления: 2015-10-26