Читайте также: |
|
Линейные отображения.
Пусть и
--- векторные пространства над
.
Опр. Функция называется линейным отображением, если
.
Ядро: --- подпространство в
.
Образ: --- подпространство в
.
Опр. - множество всех линейных отображений
.
Если мы знаем значение отображения на базисе, мы можем найти значение отображения на любом элементе по линейности.
Задание линейных отображений матрицами.
--- базис
,
--- базис
.
. Тогда
.
Опр. --- матрица отображения
в базисах
,
.
Пусть (т.к. разложение по базису в пространстве
определено однозначно)
или
(столбцы).
Теорема. При фиксированных базисах в и
существует взаимо однозначное соответствие между линейными отображениями из этого множества
и матрицами
х
.
Введём обозначение матрицы},
.
1) Сюръективность : если взять матрицу
, то для неё можно подобрать соответствующее линейное отображение:
. Зададим
на базисе
:
.
2) Инъективность. Пусть и
. Тогда матрица разности отображений
Опр. Если и
конечномерны, то ранг
это размерность образа,
.
Теорема.
Пусть --- базис
. Тогда
Столбцы
матрицы
линейного отображения
линейно независимы, это означает, что
линейно независимы в
.
Теорема.
Опять же фиксируем базис: пусть --- базис
,
--- базис
,
--- матрица
в этих базисах.
. Через
обозначим
. Тогда
(а) - решение системы линейных уравнений
.
(б) (предыдущая теорема) =
. Следовательно,
Следствие 1. Следующие условия, наложенные на , эквивалентны:
1) инъективно, 2)
, 3)
.
Следствие 2. Пусть ,
. Тогда
.
1)Если , то
. (
).
2)Пусть теперь ядро = 0. . Тогда
инъективно (по предыдущему следствию 1) и образ =
, следовательно
- образ отображения
.
Замечание. Линейность Тогда
линейна.
14.02.05
Линейные операторы.
Пусть V=W. Тогда – множество линейных операторов на V
(т.е. линейных отображений )
Если и
линейные операторы на V,
– скаляр, то
То есть – алгебра линейных операторов.
Линейная алгебра
(а) - векторное пространство над
(б) - векторное кольцо (относительно сложения и умножения)
(в)
Другое обозначение: =
Алгебра изоморфна алгебре матриц
, где
.
Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 137 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
ЛИНЕЙНЫЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА | | | Матрица линейного оператора. |