Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Читайте также:
  1. В-5. Положительные направления электромагнитных величин, уравнения напряжения и векторные диаграммы источников и приемников электрической энергии
  2. Вывод уравнения эллипса
  3. Дифференциальные уравнения и их системы
  4. Задача Коши для волнового уравнения в случае плоских волн.
  5. Задача Коши для волнового уравнения на полуограниченной прямой. Метод продолжений.
  6. Криволинейные интегралы
  7. Криволинейные координаты на плоскости

с произвольными коэффициентами.

 

Рассмотрим уравнение вида

С учетом обозначения можно записать:

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале (конечном или бесконечном).

 

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 

Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.

Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:

 

Пусть - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

 

Далее покажем, что сумма является общим решением неоднородного уравнения.

 

Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением.

Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором.

 

На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных.

Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:

 

 

Пример. Решить уравнение

Решаем линейное однородное уравнение

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Составляем систему уравнений:

Решим эту систему:

 

Из соотношения найдем функцию А(х).

 

Теперь находим В(х).

Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:

Окончательный ответ:

Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора.

Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

 

Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 105 | Нарушение авторских прав

Читайте в этой же книге: Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. | Уравнения с разделяющимися переменными | Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение | Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений. | Уравнения, не содержащие явно искомой функции | Линейные однородные дифференциальные уравнения с | Нормальные системы линейных однородных дифференциальных |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
При этом многочлен называется характеристическим многочленомдифференциального уравнения.| Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)