|
Теорема 2. ЖНФ матрицы A единственна с точностью до перестановки клеток.
Пусть A – жорданова матрица n x n. , где
- жордановы клетки.
Обозначим: - число клеток Jm,l среди
. Сначала выведем формулу для
. Пусть A: V®V – линейный оператор на n-мерном пространстве с матрицей A.
Обозначим: Тогда
Здесь
- единичные матрицы соответствующих размеров.
1) Если и
, то
размер (Aj).
2) Если , то
- матрица нильпотентного оператора B = A - lE
на циклическом (для B) подпространстве U. Вычислим
Пусть v, Bv, …, Bs-1v – циклический базис для B в U. Тогда Bt(U) = < Btv, …, Bs-1v> (или 0, если
). Отсюда
, если t < s и u = 0 если
.
3) Найдем разность для A. Пусть
- размеры всех клеток среди
с собственным числом l. Тогда для клеток
с числом
имеем
разность
можно считать только по клеткам с
. Поэтому
Т.е.
- число клеток Jm,l среди
, у которых
. Отсюда
) - (
- число клеток Jk+1,l Þ формула
, где
Пусть A и D матрицы двух жордановых нормальных форм одного оператора с матрицей В. Тогда: (
- некоторая матрица),
. Поэтому
(т.к. F является невырожденной). Преобразование мы использовали следующее:
. Таким образом,
. Это и есть единственность. ð
28.02.05
БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Определение.
F – поле, V – векторное пространство над эти полем.
Опр. Функция называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу. То есть:
1)
2)
Матрица билинейной формы.
Пусть - базис V. Обозначим
.
Опр. называют матрицей билинейной формы f в базисе
.
Координатная запись. ,
. Тогда:
, где
,
,
, а
.
Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса.
Пусть и
- два базиса пространства V. Пусть С – матрица перехода от базиса
к базису
. Пусть
Тогда:
,
. Отсюда
, где
- матрица
в базисе
. С другой стороны
, где
- матрица
в базисе
.
Замечание. Если для любых столбцов выполняется равенство
, то матрицы В и А равны.
Пусть ,
(в смысле, что единица стоит на i-ом и j-ом месте соответственно; ни в коем случае не подразумевается вычитание)
.
Учитывая замечание, получаем: .
Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 150 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Матрица линейного оператора. | | | Квадратичные формы |