Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

В) Скалярний добуток в координатах

Читайте также:
  1. Кратные интегралы в криволинейных координатах
  2. Ф-ция рапределения Максвелла для вектора скорости в декартовых координатах.

Нехай е1, е2,..., еп – довільний базис евклідового простору V, х 1 е12 е2 +...+хп еп, у 1 е12 е2 +...+уп еп – два довільні вектори цього простору. Тоді

Якщо базис е1, е2, ..., еп – ортонормований, то

( x, y )=x1y1+x2y2+…+xnyn.

Помноживши обидві частини рівності х 1 е12 е2 +...+хп еп скалярно на еі, отримаємо, що (х, еі )=хі, тобто і -та координата вектора х в ортонормованому базисі дорівнює скалярному добутку вектора х на одиничний вектор еі. Цей скалярний добуток називають проекцією вектора х на вектор еі. Отже, координати вектора в ортонормованому базисі – це його проекції на базисні вектори.

Г) Ортогональне доповнення

Два підпростори V1 та V2 евклідового простору V називаються взаємно ортогональними, якщо кожний вектор із V1 ортогональний кожному вектору із V2 (позначають V1 V2).

Теорема 3. Для того, щоб підпростори V1 та V2 були взаємно ортогональними, необхідно і достатньо, щоб всі базисні вектори одного були ортогональні всім базисним векторам другого.

Теорема 4. Два взаємно ортогональних підпростори перетинаються по нульовому вектору.

Теорема 5. Кожний вектор х із V, ортогональний V1, належить V2.

Підпростір V2, утворений всеможливими векторами із V, ортогональними до всіх векторів із V1, називається ортогональним доповненням V1. Позначають його .

Підпростори V1 і V2 породжують V і перетинаються по нульовомувектору. Значить, евклідів простір V являє собою пряму суму довільного свого підпростору і його ортогонального доповнення:

Тому кожний вектор х із V можна однозначно подати у вигляді суми

x = y + z, де

Лінійні перетворення в евклідовому просторі

А) Перетворення, спряжене до даного

Нехай – лінійне перетворення евклідового простору . Лінійне перетворення , для якого при всіх x, y V

(A x, y) = (x, A* y), називається спряженим до A.

Властивості:

1. .

Дійсно, (x, y) = ( x, y) =(x, y) = (x, y).

2. .

Дійсно, (A x, y) = (x, A* y) = (A* y, x) = (y,(A*)* x) = ((A*)* x, y).

3. .

Дійсно, (x,(A + B) * y) = ((A + B) x, y) = (A x + B x, y) = (A x, y) + (B x, y) =

= (x, A* y) + (x, B* y) = (x,(A* + B*) y).

4.

Дійсно, (x,(AB) * y) = ((AB) x, y) = (A (B x), y) = (B x, A* y) = (x, B* (A*) y) = (x,(B *A*) y).

5. Якщо існує, то .

Дійсно, .


Дата добавления: 2015-10-29; просмотров: 131 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Типы общества | Випадок однорідної системи | Нормальна форма Жордана |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Б) Розмірність і базис| В) Ортогональні перетворення

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)