Читайте также:
|
|
Рассмотрим уравнение:
, (2.1)
В уравнении заменим производную конечной разностью:
, (2.2)
, (2.3)
, (2.4)
Подставим выражения (2.2)-(2.4) в уравнение (2.1):
, (2.5)
Приведя подобные, получим:
, (2.6)
Представим (2.6) в виде:
, (2.7)
где
.
Рассматриваемый метод идентификации, основан на регрессионных процедурах с использованием метода наименьших квадратов.
Рассматриваем систему, которая задана уравнением:
Минимизируемая функция имеет вид:
(2.8)
Запишем систему уравнений для нахождения , для этого найдем частные производные: (2.9)
(2.10)
Запишем систему в матричной форме:
(2.11)
. (2.12)
По полученным найдем коэффициенты аi
.
1. Градиентные методы идентификации нелинейных систем
Для общей задачи минимизации функционала
при ограничениях
где f – нелинейная вектор - функция
Случай pi - const будем задаваться начальным значением pi, i- номер итерации, и решив систему дифференциальных уравнений оценим величину функции штрафа Ji. Слегка изменяя pi, для нового значения найдем штраф
Ji +hj, j = 1,n, n - число неизвестных коэффициентов
j-ю компоненту вектора-градиента функции штрафа можно приближенно оценить как
(3)
Повторяя эту процедуру для возмущений различных компонент вектора параметров, определим приближенное значение вектора-градиента dJ/dpi Первое приращение вектора параметров в направлении наискорейшего спуска к минимуму функции штрафа составит
(4)
и Ki – выбирается из условия
(5)
а новое приближение для вектора параметров определится как
pi+1 = pi +Dpi.
Простота приближенного метода позволила положить его в основу нескольких итерационных схем, однако трудно оценить ошибку, связанную с приближенным вычислением dJ/dpi (процедура точного вычисления свелась бы к уже известным алгоритмам решения динамических задач). Приближенная процедура приводит к существенным ошибкам, особенно тогда, когда функция штрафа не очень чувствительна к изменению вектора параметров. Последнее, к сожалению, довольно часто имеет место, если измерения или наблюдения искажены помехой и имеются неизвестные входные сигналы.
Алгоритм вычислений следующий
1.Задаемся начальными значениями вектора параметров р.
2.Решаем дифференциальные уравнения (2)
3.Вычисляем значения функционала (1)
4.Вычисляем компоненты вектора-градиента функционала (1) по ф.(3).
5.Определяем новые значения р по ф.4 из условия (5)
6.Переходим к п.2 алгоритма, если компоненты вектора-градиента больше некоторой величины e.
2. Коэффициенты системы есть функции времени, т.е. р = p(t).
Способы аппроксимации функции p(t).
Кусочно-постоянными функциями.
Кусочно-линейными функциями.
р
t
Полиномиальная гипроксимация.
4.Сплайн-аппроксимация.
где
p
Дата добавления: 2015-10-24; просмотров: 132 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Оценивание весовой функции по методу наименьших квадратов | | | ЛІНЕАРИЗАЦІЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ОБ’ЄКТА |