Теорема доказана. 27) Теорема Стокса для ориентированной поверхности

27) Теорема Стокса для ориентированной поверхности

Пусть – ориентированная – мерная поверхность с краем , имеющая индуцированную ориентацию. Пусть – сориентированный сингулярный -мерный куб в , для которого единственной гранью, имеющей общие внутренние точки с краем является грань: ; Пусть – форма -й степени на , равная вне . В этих предположениях мы можем написать, что: ; Теперь можно написать: ; Мы видим, что знак минус уходит. Этим объясняется выбор ориентации края поверхности и определение границы сингулярного куба. Это соображение имеет место в теореме: Теорема Стокса (26.1): Пусть –компактная ориентированная -мерная поверхность с краем в , и – форма -й степени на . Тогда: , где на предполагается индуцированная ориентация.

Док-во: Сначала предположим, что –сориентированной сингулярный -мерный куб, расположенный в . Предположим, что вне . Тогда: . С другой стороны ; Получается: . С другой стороны . Равенство 26.2 доказано. Теперь, рассмотрим ситуацию, когда – сориентированный –мерный куб, для которого грань является единственной гранью, хотя бы одна внутренняя точка которой принадлежит краю . Тогда: . Перейдем к общему случаю. Пусть – открытое конечное покрытие и пусть –подчиненное ему разбиение единицы. Далее, заметим: . Следовательно: . Далее, возьмем: .

Теорема доказана.

28) Элемент площади и площадь поверхностей.

Пусть – -мерная компактная ориентированная поверхность с краем и ориентацией . Выберем произвольную точку . Тогда, с помощью ориентации , а также внутреннего произведения , определенного для любых векторов по формуле: , где – стандартное внутреннее произведение в . Для одномерных поверхностей, которые называются кривыми, элемент объема называется элементом длины и обозначается: , а для двумерных поверхностей элемент объема называется элементом площади: . Под объемом подразумевают интеграл: , если он существует.

Теорема 27.1: Пусть – ориентированная двумерная поверхность в , и пусть –орт внешней нормали поверхности . Тогда имеют место формулы: 1) ; 2) 3) ; 4) .

Док-во:

Первое равенство является следствием того, что оно эквивалентно равенству: ; . Тем самым, равенство 1 доказано. Докажем остальные. Возьмем произвольный вектор . Заметим, что, поскольку , то произведение этих векторов пропорционально : . Далее, рассмотрим: . В полученном равенстве левых и правых частей, положим: . Тогда: . Левая часть, таким образом, принимает вид: . Таким образом: . Остальные доказываются аналогично.

Дата добавления: 2015-07-07