Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема доказана. 17) Разбиение единицы.

Читайте также:
  1. II закон термодинамики. Теорема Карно-Клаузиуса
  2. Доказательство. Теорема.
  3. Интегральная теорема Лапласа
  4. Котельников теоремасы бойынша санақ шығарудың жиілігін таңдау
  5. ЛЕКЦИЯ 12. ТЕОРЕМА О ПЛОТНОСТИ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
  6. ЛЕКЦИЯ 18. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
  7. ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА–ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ

 

17) Разбиение единицы.

Лемма 14.1: Пусть –открытое множество и –его компактное подмножество. Тогда существует функция класса , которая принимает положительные значения на некотором открытом множестве, содержащем в себе и равное нулю вне некоторого замкнутого множества, лежащего в . Можно выбрать эту функцию даже так, чтобы она была равна единице на множестве .

Теорема 14.1:Пусть – открытое покрытие множества . Тогда существует такое семейство функций класса , определенных на некотором открытом множестве содержащем , что: 1) На множестве верно: ; 2) такое, что лишь конечное число функций из отлично от тождественного нуля на множестве ; 3) ; В силу пункта 2, лишь конечное число слагаемых отличается от тождественного нуля на открытом множестве ; 4) вне некоторого замкнутого множества, лежащего в .

Док-во: Пусть ; – компактные множества, причем: ; Рассмотрим семейство всех открытых множеств, имеющих вид: ; -открытое покрытие компактного множества . Для множества существует разбиение единицы класса , подчиненное открытому покрытию . Для любого значения , далее, рассмотрим функцию: ; Здесь, под знаком суммы стоит конечное число слагаемых, отличных от нуля при любом . Это вытекает из того факта, что любые функции: ; Обращаются в тождественный нуль на множестве , а также из того факта, что для компактного множества разбиение единицы состоит из лишь конечного числа функций. Если теперь принять: , то мы определим новую функцию: ; Функции и составляют разбиение единицы для множества . Далее. Пусть – открытое множество. Для любого составим множество: ; Множество образует возрастающую последовательность компактных множеств . Таким образом, этот случай сводится к предшествующему. Далее. – произвольное множество. Рассмотрим объединение всех открытых множеств, входящих в состав покрытия множества : ; В силу предшествующего этапа, для открытого множества существует разбиение единицы ,подчиненное покрытию . Оно же будет разбиением единицы и для . Теорема доказана.

 

18) Несобственные интегралы.

Теорема 15.1: Пусть –ограниченное открытое множество и функция ограниченна и имеет множество точек разрыва объема нуль. Тогда в контексте сказанного выше: 1) Ряд сходится абсолютно; 2) Если - другое открытое покрытие множества , – разбиение единицы для множества , подчиненное покрытию , то: . 3) Если множество измеримо по Жордану то прежнее определение интеграла совпадает с определением 15.2.

Док-во: 1 этап: Пусть – замкнутый параллелепипед, содержащий в себе множество и пусть –постоянная, такая, что: . Для каждой функции имеем неравенство: ; Пусть теперь – конечное множество. Тогда: ; Получается, что для верно: ; На основании последней оценки можно сделать утверждение: ; Поскольку последнее справедливо для любого конечного подсемейства, отсюда следует сходимость ряда , а значит и сходимость ряда . 2 этап: Очевидно, что и образуют разбиение единицы для множества . Это разбиение будет одновременно подчинено покрытиям и . Для любой , функция обращается в тождественный нуль вне некоторого компактного множества . Поэтому лишь конечное число функций не равны тождественному нулю на множестве . В следствие последнего замечания, имеют место выкладки: ; То же самое равенство имеет место и для суммы . 3 этап: Пусть множество измеримо по Жордану. Тогда для него найдется компактное подмножество , такое, что множество (n-мерный объем произвольного измеримого по Жордану множества определяется как: ) имеет -мерный объем: , где – наперед заданное положительное значение. Пусть – конечное произвольное множество. Далее, имеем оценки: ; С самого начала множество можно было бы взять таким, что содержит все функции не равные тождественно нулю на . В этом случае последнее выражение можно записать в следующем виде: ; Поскольку произвольное, отсюда следует равенство: .


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 265 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Свойство доказано. | Лемма доказана. | Теорема доказана. | Теорема доказана. | Теорема доказана. | Теорема доказана. | Теорема доказана. | Лемма доказана. | Теорема доказана. | Теорема доказана. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Теорема доказана.| Теорема доказана.

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.043 сек.)