Теорема доказана. 17) Разбиение единицы.

Читайте также:

17) Разбиение единицы.

Лемма 14.1: Пусть –открытое множество и –его компактное подмножество. Тогда существует функция класса , которая принимает положительные значения на некотором открытом множестве, содержащем в себе и равное нулю вне некоторого замкнутого множества, лежащего в . Можно выбрать эту функцию даже так, чтобы она была равна единице на множестве .

Теорема 14.1:Пусть – открытое покрытие множества . Тогда существует такое семейство функций класса , определенных на некотором открытом множестве содержащем , что: 1) На множестве верно: ; 2) такое, что лишь конечное число функций из отлично от тождественного нуля на множестве ; 3) ; В силу пункта 2, лишь конечное число слагаемых отличается от тождественного нуля на открытом множестве ; 4) вне некоторого замкнутого множества, лежащего в .

Док-во: Пусть; – компактные множества, причем:; Рассмотрим семейство всех открытых множеств, имеющих вид:; -открытое покрытие компактного множества. Для множества существует разбиение единицы класса, подчиненное открытому покрытию. Для любого значения, далее, рассмотрим функцию:; Здесь, под знаком суммы стоит конечное число слагаемых, отличных от нуля при любом. Это вытекает из того факта, что любые функции:; Обращаются в тождественный нуль на множестве, а также из того факта, что для компактного множества разбиение единицы состоит из лишь конечного числа функций. Если теперь принять:, то мы определим новую функцию:; Функции и составляют разбиение единицы для множества. Далее. Пусть – открытое множество. Для любого составим множество:; Множество образует возрастающую последовательность компактных множеств. Таким образом, этот случай сводится к предшествующему. Далее. – произвольное множество. Рассмотрим объединение всех открытых множеств, входящих в состав покрытия множества:; В силу предшествующего этапа, для открытого множества существует разбиение единицы,подчиненное покрытию. Оно же будет разбиением единицы и для. Теорема доказана.

18) Несобственные интегралы.

Теорема 15.1: Пусть –ограниченное открытое множество и функция ограниченна и имеет множество точек разрыва объема нуль. Тогда в контексте сказанного выше: 1) Ряд сходится абсолютно; 2) Если - другое открытое покрытие множества , – разбиение единицы для множества , подчиненное покрытию , то: . 3) Если множество измеримо по Жордану то прежнее определение интеграла совпадает с определением 15.2.

Док-во: 1 этап: Пусть – замкнутый параллелепипед, содержащий в себе множество и пусть –постоянная, такая, что: . Для каждой функции имеем неравенство: ; Пусть теперь – конечное множество. Тогда: ; Получается, что для верно: ; На основании последней оценки можно сделать утверждение: ; Поскольку последнее справедливо для любого конечного подсемейства, отсюда следует сходимость ряда , а значит и сходимость ряда . 2 этап: Очевидно, что и образуют разбиение единицы для множества . Это разбиение будет одновременно подчинено покрытиям и . Для любой , функция обращается в тождественный нуль вне некоторого компактного множества . Поэтому лишь конечное число функций не равны тождественному нулю на множестве . В следствие последнего замечания, имеют место выкладки: ; То же самое равенство имеет место и для суммы . 3 этап: Пусть множество измеримо по Жордану. Тогда для него найдется компактное подмножество , такое, что множество (n-мерный объем произвольного измеримого по Жордану множества определяется как: ) имеет -мерный объем: , где – наперед заданное положительное значение. Пусть – конечное произвольное множество. Далее, имеем оценки: ; С самого начала множество можно было бы взять таким, что содержит все функции не равные тождественно нулю на . В этом случае последнее выражение можно записать в следующем виде: ; Поскольку произвольное, отсюда следует равенство: .