Теорема доказана. 8) Непрерывно дифференцируемые функции.

Читайте также:

8) Непрерывно дифференцируемые функции.

Функция называется непрерывно дифференцируемой в точке если на некотором открытом множестве она имеет всевозможные частные производные , непрерывные в самой точке . Если функция непрерывно дифференцируема в каждой точке множества, то говорят, что она непрерывно дифференцируема на всем множестве .

Теорема 7.1: Пусть функции непрерывно дифференцируемы на множестве и пусть функция непрерывно дифференцируема в точках . Тогда функция , определенная равенством: , дифференцируема в точке и ее частные производные находятся по формулам: .

Док-во: Определим вектор функцию равенством: . Тогда очевидно, что функция представляет собой композицию: . Функция дифференцируема в точке по теореме о сложной функции, и по той же теореме мы получаем равенство: . Здесь, выражение слева – матрица . Ее i-й элемент является частной производной . Выражение справа – также матрица , которая в й позиции представляет собой правую часть равенства из теоремы 7.1. .

Теорема доказана. Данная теорема представляет собой правило нахождения частных производных сложной функции.

Лемма 7.1: Пусть функция непрерывна в параллелепипеде и непрерывно дифференцируема внутри него, причем ее всевозможные частные производные удовлетворяют неравенству: . Тогда для любых выполняется неравенство: .

9) Обратная функция.

Теорема об обратной функции (7.2): Пусть функция непрерывно дифференцируема на некотором открытом множестве содержащем точку и пусть при этом ее производная в этой точке равна нулю. Тогда существует множество , содержащее точку , такое, что функция , действующая из в взаимно однозначна и имеет обратную функцию , дифференцируемую на . При этом выполняется равенство: .

Док-во: Обозначим через линейное отображение: , совпадающее с дифференциалом функции . Заметим, что если теорема верна для функции , то она верна и для функции и при этом: .Воспользуемся тем, что функция дифференцируема в точке . . Отсюда вытекает неравенство: . Поскольку то мы можем выбрать такой параллелепипед , содержащий точку в своей внутренности, чтобы: . Из этих рассуждений следует, что в этом параллелепипеде выполняется неравенство: ; Кроме того, мы можем считать, что в параллелепипеде выполняется неравенство: ; ; Заметим, что поскольку – единичная матрица, . Значит последнее соотношение можно переписать в виде: ; Для функции мы получаем неравенство: . Из этого получаем: ). Рассмотрим множество всех точек , таких, что : . Заметим, что если то выполняется неравенство: . Теперь докажем, что для каждого существует единственная точка такая, что: . С этой целью рассмотрим функцию: . Докажи дифференцируемость функции на множестве . Для этого воспользуемся дифференцируемостью функции на множестве .Дадим приращение: . Тогда: ). Здесь, – линейное отображение. Рассмотрим обратное линейное отображение . Применим его к обеим частям равенства 8.3. При этом: ; Учтем, что: . Получим: ). Равенство 8.4 означает дифференцируемость функции в точке . А поскольку – произвольная точка пространства , то – произвольная точка пространства . Остается заметить, что функция совпадает с – линейным отображением, обратным отображению . Поэтому матрица совпадает с матрицей, обратной матрице отображения : .