Теорема доказана. 7) Частные производные

7) Частные производные.

Приступим к определению производной функции по одной из переменных. Пусть дана функция . Если существует предел: . То он называется й частной производной или производной й переменной и обозначается: . Если в ряду индексов переменных, по которым осуществляется дифференцирование встречаются различные индексы, то такая производная называется смешанной.

Теорема 6.4: Пусть функция имеет всевозможные частные производные на открытом множестве, содержащем точку . Если производная непрерывна в точке , то функция дифференцируема в этой точке.

Док-во: Достаточно ограничиться случаем, когда . Пусть . Имеет место равенство: ). В каждой строке этого равенства применим теорему Лагранжа. Для строки соответствующее равенство выглядит: . Значение расположено между и . При этом, . В силу непрерывности частных производных можно написать соотношение: . Последнее равенство подставим в каждую строку равенства 6.4. Получим: . Первая сумма представляет собой линейную функцию , а вторая - . Следовательно, последнее равенство – это условие дифференцируемости функции в точке .

Дата добавления: 2015-07-07