Теорема доказана. Пусть – линейное -мерное пространство над

19) К-тензоры.

Пусть – линейное -мерное пространство над . Через условимся обозначать декартово произведение: ; Функцию условимся называть полилинейной если для нее выполняются равенства: ; ; В частности, определители -го порядка являются полилинейными функциями своих столбцов(строк). Такие функции называются -тензорами. В частности, определители -го порядка являются -тензорами. Множество всех -тензоров, определенных на условимся обозначать: Пространство называется сопряженным пространством к . Элементами этого пространства являются линейные функции, отображающие пространство на множество вещественных чисел. Такие функции называются функционалами.

Теорема 17.2: В пространстве существует базис , такой, что: ; Такой базис называется ортонормальным относительно . Следовательно, существует изоморфизм (взаимно-однозначное линейное отображение): , такой, что для любых верно равенство: ; То есть, совпадает со скалярным произведением.

Док-во:

Рассмотрим какой либо базис и далее, подвергнем его преобразованию с помощью алгоритма (ортогонализация Грамма-Шмидта): ; Этот алгоритм преобразует базис в базис . Причем, нетрудно видеть, что . Далее, указанный изоморфизм можно построить положив: .

Теорема доказана.

20) Антисимметрические k-тензоры.

Важным примером тензора является определитель: ; Вспомним свойство определителя: при перестановке столбцов определитель меняет знак (говорят, что он обладает свойством антисимметричности). Следуя этому свойству, назовем тензор: , антисимметрическим если для любых выполняется равенство: ; Антисимметрические тензоры образуют подпространство . Пусть – произвольный тензор. Его альтернацией назовем выражение: ; Здесь суммирование проводится по всем подстановкам -го порядка. Легко видеть, что данная процедура обладает свойством линейности: ; ; Имеет место следующая теорема:

Теорема 18.1: 1) Если то ; 2) Если то ; 3) .

Док-во:

Обозначим через подстанувку, переставляющую и элементы: ; Пусть теперь – произвольная подстановка, принадлежащая . Рассмотрим произведение: . Тогда: . Пусть теперь . Рассмотрим: ; . Далее. Заметим, что всякая подстановка представляет собой произведение соответствующим образом подобранных подстановок . Для любого тензора будем иметь: . . Очевидно, что третий пункт следует из первых двух.

Теорема доказана.

21) Ориентация пространства.

Теорема 18.4: Пусть – ненулевой тензор, и –базис в пространстве . Пусть также, – векторы из пространства , выражающиеся через базис следующим образом: ; Тогда: .

Док-во: .

Теорема доказана. Пусть теперь –один базис в , а – другой базис в и –матрица перехода от одного базиса к другому. Тогда для данного ненулевого тензора вся совокупность базисов пространства распадается на 2 семейства. Для любого базиса из первого семейства выполняется неравенство: . А для любого базиса извторого семейства: . Эти 2 семейства базисов называются ориентациями пространства . Пусть теперь – внутреннее произведение в пространстве и пусть и –два ортонормальных базиса относительно . Тогда: ; Если обозначить через матрицу , а через транспонированную матрицу , то последнее означает: ; Такие матрицы называются ортогональными. Если матрицы перехода от к равны единице, такой элемент называется ориентированным элементом объема в пространстве .

22) Поля и формы в пространстве.

Если – дуальный базис по отношению к , то: . Эта функция называется дифференциальной формой. Векторное поле – это функция , которая каждой точке ставит в соответствие вектор . Если – значение векторного поля, то оно определяется: , где –координатные функции поля.Пусть задано дифференцируемое отображение . Тогда определено линейное преобразование: ; В свою очередь, это линейное отображение индуцирует линейное отображение: , которое определяется следующим образом: . Здесь, , а – любые векторы из пространства . Вышеуказанная формула называется формулой переноса дифференциальных форм. Она представляет собой вариант формулы замены переменной. При этом, функция называется прообразом дифференциальной формы . Следующая теорема описывает свойства отображения .

Теорема 19.1: Пусть отображение – дифференцируемо. И пусть - скалярная функция. Тогда: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Док-во: Пусть . . Поскольку – любой, равенство доказано. Остальные пункты доказываются аналогично.

Теорема доказана.

23) Потенциал.

Теорема 20.1: Для операции дифференцирования форм определены свойства: 1) ; 2) Если – форма -й степени, то дифференциал равен: ; 3) .Коротко: ; 4) где: – дифференцируемая функция, а – форма в пространстве .

Док-во: Первый пункт очевиден. Второй пункт очевиден если –скалярная функция. Также, равенство очевидно для формы вида: ; Рассмотрим форму: ; ; Для имеем 2 слагаемых: ; . Эти два слагаемых отличаются лишь знаком и в сумме дают 0, поэтому и вся сумма равна нулю. Последний пункт доказывается индукцией по степени дифференциальной формы. Для формы 0-й степени это сделать нетрудно. Предположим, что утверждение верно для любой формы -й степени. Индуктивный переход достаточно сделать для формы , где –форма -й степени: .

Теорема доказана. Также дадим определения: 1)Форма называется замкнутой если . 2) Форма называется точной если существует такая форма , что . 3) называется потенциалом или первообразной для . Лемма Пуанкаре (20.1): Если – замкнутая форма на открытом звездном относительно начала координат множестве, то она точна на этом множестве.

24) Теорема Стокса.

Теорема Стокса(22.1): Пусть – форма -й степени на , и – -мерная сингулярная цепь в . Тогда: .

Док-во: Предположим, что . Форма -й степени состоит из суммы форм вида: ; Достаточно доказать теорему Стокса для этих форм. Для этого заметим: ; Рассмотрим: ; Далее, рассмотрим: ; Теперь, к последнему интегралу применим теорему Фубини и формулу Ньютона-Лейбница: . Как следствие, получаем равенство: . Теорема Стокса доказана для стандартного -мерного куба. Пусть теперь -произвольный сингулярный -мерный куб. Тогда: . Теорема доказана для произвольного сингулярного куба. Пусть теперь – произвольная сингулярная цепь: ; .

Дата добавления: 2015-07-07