Теорема доказана. 10) Неявные функции.

Читайте также:

10) Неявные функции.

Рассмотрим функцию , определенную равенством: . И пусть – точка на плоскости , удовлетворяющая равенству: . При условии: существуют интервалы , обладающие тем свойством, что для каждого существует единственное значение такое, что . Тем самым получена однозначная функция , определенная равенством: , такая, что: . Если то функция имеет вид: . Такая функции дифференцируемая на множестве и называется неявной. Теорема о неявной функции (9.1): Пусть функция непрерывно дифференцируема на некотором открытом множестве, содержащем точку и . Если матрица невырожденная (), то существуют открытые множества и , такие, что для каждого значения существует единственное значение , для которого выполняется равенство: . При этом функция – дифференцируема.

Док-во: Определим функцию следующим равенством: . Заметим, что: . . Функция удовлетворяет условиям теоремы об обратной функции. По этой теореме, существует открытое множество, содержащее точку , а также открытое множество, содержащее точку , причем множество можно выбрать в виде: , таким, что функция имеет дифференцируемую обратную функцию: . При этом очевидно, что: потому что такой же вид имеет прямая функция. Далее, определим функцию . Заметим: . Далее, имеем: . Получено равенство: . Дифференцируемость функции следует из теоремы об обратной функции.