Лемма доказана.

Теорема 12.1: Функция интегрируема на тогда и только тогда, когда граница множества имеет меру 0. Док-во: Предположим, что – некоторая внутренняя точка множества . Тогда она входит в вместе с некоторым замкнутым параллелепипедом. Тогда, очевидно, что функция непрерывна и обращается в единицу. Пусть теперь точка принадлежит внешности множества . Тогда найдется параллелепипед, который лежит вне . На этом параллелепипеде принимает значение 0 и, также непрерывна. Рассмотрим ситуацию, когда принадлежит границе . В этом случае, какой бы параллелепипед, содержащий точку мы не взяли, в этом параллелепипеде найдутся точки как принадлежащие , так и не принадлежащие. Очевидно, что в этом случае является точкой разрыва функции . Таким образом, множество точек разрыва совпадает с границей . Отсюда следует утверждение теоремы.

Теорема доказана.

15) Свойства кратного интеграла.

Определение кратного интеграла совершенно аналогично определению определенного интеграла Римана, поэтому его свойства повторяют свойства интеграла по отрезку.

Теорема: Пусть – ограниченное, измеримое по Жордану множество, и – интегрируемые на функции, для каждого удовлетворяющие неравенству: . Тогда: .

Док-во: Предположим сначала, что –замкнутый параллелепипед, и – произвольное его разбиение. Для любого сегмента этого разбиения, очевидно, выполняется неравенство: . Поэтому , откуда: . Поскольку последнее неравенство выполнено для любого разбиения , то: . Тем самым, неравенство 8 установлено для случая, когда –замкнутый параллелепипед. Пусть теперь – ограниченное, измеримое по Жордану множество, расположенное в замкнутом параллелепипеде . Доопределим функции тождественным нулем на множестве . Очевидно, функции интегрируемы на , и для каждого выполняется неравенство: . Следовательно, .

Дата добавления: 2015-07-07