Теорема доказана. Теорема о замене переменной в кратном интеграле: Пусть -открытое множество

Читайте также:

Теорема о замене переменной в кратном интеграле: Пусть -открытое множество, и –такая взаимно однозначная функция, что: . Тогда: , для любой интегрируемой функции .

16) Теорема Фубини.

Теорема Фубини: Пусть и –замкнутые параллелепипеды, и пусть функция интегрируема. Также, пусть функция определена по правилу: . И далее, определим функции: ; . Тогда функции и интегрируемы на параллелепипеде и имеют место равенства: ; .

Док-во: Рассмотрим – разбиение параллелепипеда , с сегментами и – разбиение с сегментами . Разбиения и , совместно, порождают разбиение параллелепипеда . Сегментами этого разбиения являются параллелепипеды вида: . Далее, имеем: ; Теперь заметим, что для любого верно: . Поэтому: . Приведенное неравенство справедливо для любого . Отсюда получается: Таким образом: . Данное неравенство может быть продолжено: . Последнее неравенство доказывается как и первое. Поскольку функция интегрируема на , супремум ее нижних сумм Дарбу будет равен: ; Отсюда получается: . Таким образом, получается что функция интегрируема и верно равенство: . Равенство 13.6 установлено. Для функции получаем аналогичный результат: . Таким образом, – интегрируема.