Читайте также: |
|
2) Подмножества в евклидовом пространстве.
Отрезку на числовой оси
есть свой аналог в плоскости
– прямоугольник:
, который определяется как множество всех пар
. В частности, можно рассматривать замкнутые параллелепипеды вида:
. Данная конструкция называется замкнутым параллелепипедом в пространстве
. Рассмотрим также открытые параллелепипеды:
.Множество
называется открытым если каждую свою точку
оно содержит в себе с некоторым открытым параллелепипедом (окрестностью). Дополнение к открытому множеству является множеством замкнутым:
.
Лемма 2.2:Пусть – некоторое открытое покрытие рассмотренного выше множества
. Тогда существует такое открытое множество
, содержащее точку
, что множество
покрывается конечным числом открытых множеств из
. Из леммы следует теорема:
Теорема 2.1:Если множества являются компактными, принадлежащими пространствам
и
соответственно, то множество
компактно в пространстве
.
Док-во: Пусть – произвольное открытое покрытие множества
. Для каждой точки
рассмотрим множества
. Согласно лемме 2.2, для этого множества существует такое открытое множество
, что
покрывается конечным числом открытых множеств из
.Очевидно, что открытые множества
, покрывают компактное множество
. Следовательно, существует конечное число множеств
покрывающих множество
. Множества
очевидно, покрывают множество
, но каждое из них покрывается конечным числом открытых множеств из
. Поэтому этими открытыми множествами из
покрывается и множество
.
Теорема доказана.
3) Функции и непрерывность.
Функцией , действующей из пространства
в пространство
называется правило, по которому каждому
ставится в соответствие некоторая точка из пространства
. Соответствующая точка из
обозначается:
. При этом записывается так:
. Пусть дана функция
. У неё имеется
координатных функций:
. Эти функции определены по правилу:
. В таком случае,
называется вектор-функцией. Наоборот, если имеются
координатных функций:
, то из них можно составить вектор функцию по правилу:
.В качестве простейшей функции можно рассмотреть тождественное отображение:
. Определим её
координатную функцию:
. Такая функция называется проецированием. Функция
называется непрерывной в точке
если её предел в этой точке равен
. Функция
называется непрерывной на множестве
если она непрерывна в каждой точке этого множества. Из сказанного вытекает теорема:
Теорема 3.1: Пусть . Функция
непрерывна на множестве
тогда и только тогда, когда для каждого открытого множества
существует открытое множество
такое, что
.
Док-во: Пусть функция непрерывна и
. Тогда
. Поскольку
– открытое множество, точка
принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью
. Так как функция
непрерывна в точке
, существует такая окрестность
точки
, что
. Далее, рассмотрим открытое множество:
. Очевидно, что
.
Теорема доказана.
4) Дифференцируемая функция.
Дадим определение функции , дифференцируемой в точке
: Функция
называется дифференцируемой в точке
если верно равенство:
. Где
– производная функции в точке
,
– приращение аргумента, а
при
. Формуле можно придать векторный характер:
. Функция
называется дифференцируемой в точке
если существует такое линейное отображение
пространства
мерных веторов в пространство
мерных векторов, приложенных в точке
, для которого выполняется вышесказанное равенство при некоторой функции
, обладающей свойством:
.
Теорема 4.1: Если функция дифференцируема в точке
, то существует единственная линейная функция
удовлетворяющая равенству
.
Док-во: Предположим, что существует еще одна функция удовлетворяющая равенству:
. Тогда:
. Пусть
– произвольный вектор пространства
. Выберем значение
и подставим его в предыдущее равенство. В силу линейности,
можно сократить:
.
и
здесь стремятся к нулю при
, тогда:
. Значит,
.
Теорема доказана.
Лемма 4.1: Для линейного отображения существует значение
, такое, что
.
Док-во: В пространстве выберем стандартный базис
и разложим вектор
по этому базису:
. И к этому разложению применим функцию
. Пусть теперь
. Тогда:
.
.
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 172 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Вопрос 24 Порядок определения сметной стоимости строительства и составления сметной документации на основании нормативов расхода ресурсов в натуральном выражении | | | Лемма доказана. |