Лемма доказана. 5) Основные правила дифференцирования

5) Основные правила дифференцирования.

Теорема о дифференцировании сложной функции(4.2):Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и выполняется равенство: .

Док-во: Поскольку функция дифференцируема в точке , для нее выполняется равенство: . И так как дифференцируема в точке : В силу леммы 4.1(Для линейного отображения существует значение , такое, что ), из этого следует неравенство: Положим, . Заметим, что в силу (5.3), при . Далее, сделаем преобразования: В силу леммы 4.1: И поэтому: . Это, наряду с неравенством (5.3) позволяет сказать, что выражение в больших скобках представляет собой бесконечно малую функцию и, следовательно, поскольку композиция является линейной, формула 5.4 означает чтофункция дифференцируемаи дифференциал её совпадает с . Очевидно, что тогда выполняется равенство из теоремы.

Теорема доказана.

Теорема 5.1: 1) Если функция является постоянной (существует вектор ), её дифференциал равен нулю . 2) Если – линейное отображение, то эта функция дифференцируема в любой точке и в пространстве . 3) Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке дифференцируема каждая ее координатная функция. Верно и обратное. При этом выполняется символическое равенство: . Пункты 1 и 2 очевидны.

6) Правила дифференцирования скалярных функций.

Теорема 5.1(2): 1) Если функция определяется равенством: , то она дифференцируема в каждой точке пространства и выполняется равенство: и . 2) Если функция определяется равенством: , то она дифференцируема в каждой точке пространства и выполняется равенство: . И при этом в стандартном базисе. 3) Если функция определяется равенством: , то и при этом .

Док-во:

Пункт 1. Функция – линейная, и поэтому дифференцируема, а ее дифференциал, следовательно, совпадает с ней. Это следует из пункта 2. Но можно убедиться в сказанном непосредственно. Для этого рассмотрим произвольный вектор . . Очевидно, что это равенство – условие дифференцируемости. . Дифференциал функции равен: . Очевидно, что его можно записать иначе: . Тогда: .

Пункт 2. Докажем дифференцируемость функции в точке . , тогда: . Положим: . Имеет место неравенство: . Заметим, что . Значит 5.10 можно рассмотреть как условие дифференцируемости функции . Ее дифференциал равен: . Равенство можно переписать: . . .

Пункт 3 доказывается аналогично.

Дата добавления: 2015-07-07