Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА–ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ

Читайте также:
  1. II закон термодинамики. Теорема Карно-Клаузиуса
  2. Доказательство. Теорема.
  3. Интегральная социология Питирима Сорокина
  4. Интегральная теорема Лапласа
  5. Котельников теоремасы бойынша санақ шығарудың жиілігін таңдау
  6. Лекция (1 час).
  7. Лекция (1 час).

Для вычисления при больших n вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли находится между m1 и m2 , используется интегральная теорема Муавра–Лапласа.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа.Если вероятность успеха в каждом испытании р, pÎ(0;1) постоянна, то при n ® ¥ для любых a, b

.

На основании интегральной теоремы Муавра–Лапласа для вычисления вероятности события при больших n и npq >9 используют приближенную формулу

где .

Значения можно найти, воспользовавшись таблицами функции Лапласа , покажем это:

= ,

т.е. при больших n,

Ф(b) – Ф(а). (1)

 

Значения функции Лапласа приведены в таблицах для х > 0. Для того, чтобы вычислить значения функции для отрицательных х, надо воспользоваться следующей теоремой.

 

Теорема.Ф(x) + Ф(-x) = 1.

Доказательство: j(x) – чётная, так как j(x) = j(-x). Тогда (рис.1).

 
 

 


-х х

Рис. 1

 

Следовательно, по интегральной теореме Муавра–Лапласа

 

.

В некоторых источниках Ф(х) определяется как .

В этом случае Ф(–x) = –Ф(x).

 

Событие m1 £ m £ m2 эквивалентно событию .

Поэтому, учитывая (1) для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено в пределах от m1 до m2 , можно использовать формулу

 

, (2)

где , .

 

Формула (2) хорошо работает, если n < 50. При больших значениях n лучше взять

 

и .

 

Обозначим через b вероятность того, что относительная частота наступления успеха в n испытаниях Бернулли отклонится от вероятности успеха p не более чем на e > 0, т.е. . Покажем, что при достаточно больших n с помощью интегральной теоремы Муавра–Лапласа можно определить вероятность b.

 

Следовательно, получим

 

(3)

 

Формула содержит четыре параметра: n, p, e, b. Если известны любые 3, то можно определить четвертый параметр.

Если известны b, e, то n можно найти по формуле

 

(4)

 

где – это квадрат числа хb, такого, что Ф(х) = .

Теорема Бернулли. Пусть m – число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, вероятность успеха в каждом испытании равна p, тогда

"e>0, .


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 346 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ЛЕКЦИЯ 1. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ | Классическое определение вероятности | ЛЕКЦИЯ 2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СТАТИСТИЧЕСКОЕ, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ | Статистическое определение вероятности | Последовательность испытаний. Формула Бернулли | ЛЕКЦИЯ 3. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА | Доказательство. | Пример 1. | Основные свойства функции распределения | ЛЕКЦИЯ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Распределение Бернулли| Доказательство.

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.019 сек.)