Доказательство.

P (A ₁ A ₂… A _n) = P (A ₁· A ₂… A _n) = P (A ₁) P (A ₂… A _n).=…= P (A ₁) P (A ₂)… P (A_n).

Определение 7. Событие А₁,А₂,… А_n образуют полную группу событий, если они попарно несовместны (А_i ∩ А_j = Ø, для любого i ≠ j) и в совокупности образуют Ω, т.е. .

Теорема 2. Если события А_1,A₂,… А_n образуют полную группу событий, Р (А_i) > 0 (так как не будет определено P (B / A_i)), то вероятность некоторого события B Î S определяется, как сумма произведений безусловных вероятностей наступления события А_i на условные вероятности наступления события B, т.е.

. (1)

Доказательство. Так как события А_i попарно несовместны, то их пересечение с событием B также попарно несовместны, т.е. B∩А_i и B∩А_j – несовместны при i ¹ j. Используя свойство дистрибутивности ((È А_i)Ç В = È(А _iÇ В)), событие B можно представить как . Воспользуемся аксиомой сложения 3 и формулой умножения вероятностей, получим

.

Формула (1) называется формула полной вероятности.

Из формулы полной вероятности легко получить формулу Байеса, при дополнительном предположении, что P (B)>0

,

где k = 1, 2, …, n.

Доказательство. P(А_k/B) = P(А_k ∩ B)/P(B)

Вероятности событий P (А_i), i =1, 2, …, n называются априорными вероятностями, т.е. вероятностями событий до выполнения опыта, а условные вероятности этих событий P (А_k / B), называются апостериорными вероятностями, т.е. уточненными в результате опыта, исходом которого послужило появление события В.

Задача. В торговую фирму поступили сотовые телефоны последних моделей от трех производителей Alcatel, Siemens, Motorola в соотношении 1: 4: 5. Практика показала, что телефоны, поступившие от 1-го, 2-го, 3-го производителя, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98 %, 88 % и 92 % случаев. Найти вероятность того, что поступивший в продажу телефон не потребует ремонта в течение гарантийного срока, проданный телефон потребовал ремонта в течение гарантийного срока, от какого производителя вероятнее всего поступил телефон.

Дата добавления: 2015-07-08