Лекция 1. Теории вероятностей. История возникновения. Классическое определение вероятности

А.А. Халафян

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

тексты лекций

Краснодар 2008

ЛЕКЦИЯ 1. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Принципиально невозможно говорить об абсолютно одинаковых реальных объектах окружающего нас мира и абсолютно одинаковых воздействиях на них, а потому и об абсолютной детерминированности. Все реальные объекты и явления имеют, по-видимому, черты как детерминированного, так и случайного, которые могут проявляться в большей или меньшей степени, поэтому вопрос, а каким является мир на самом деле, в принципе не допускает однозначного ответа.

Например, на основании законов небесной механики по известному в настоящем положению планет Солнечной системы может быть практически однозначно предсказано их положение в любой наперед заданный момент времени, в том числе очень точно могут быть предсказаны солнечные и лунные затмения. Это пример детерминированных законов [1]. Но не все явления окружающего нас мира поддаются точному предсказанию, несмотря на то, что наши знания о нем постоянно углубляются и расширяются. Например, долговременные изменения климата, кратковременные изменения погоды, землетрясения и другие природные катаклизмы не являются объектами для успешного прогнозирования.

Еще менее детерминированными являются некоторые законы и явления микромира. Например, нельзя говорить о точном положении электрона в определенный момент времени, но можно лишь говорить о его распределенном положении в пространстве (электронное облако). Такого рода законы называются статистическими. Согласно этим законам, будущее состояние системы определяется не однозначно, а лишь с некоторой вероятностью [1].

Но в макромире и микромире существуют явления, состояние которых в перспективе предсказать невозможно даже с определенной вероятностью. Такие явления можно назвать неопределенными, например, длительность боевых действий при вооруженных конфликтах, количество погибших, число разрушений и т.д.

Теория вероятностей изучает свойства массовых случайных событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий. Основное свойство любого случайного события, независимо от его природы, – мера или вероятность его осуществления.

Теория вероятностей – математическая наука. Из первоначально заданной системы аксиом вытекают другие ее положения и теоремы. Впервые законченную систему аксиом сформулировал в 1936 г. советский математик академик А.Н. Колмогоров в своей книге «основные понятия теории вероятностей» [1].

По аналогии с макромиром и микромиром, математические модели могут либо быть детерминированными, либо включать случайные факторы. Если эти факторы являются стохастическими, т.е. подчиняются с определенной точностью законам математической статистики, то говорят о стохастических математических моделях.

Так как большинство прикладных задач являются вероятностными по самой своей природе, за последние годы стохастические модели получили широкое распространение. К тому же в некоторых случаях, хотя задача допускает детерминистскую модель, привлечение случайных компонент приводит к более адекватному или к более детальному описанию реального объекта. Например, случайное воздействие иногда можно полностью игнорировать (если оно не слишком велико), в других случаях его можно учесть максимально возможным значением или принять для него какую-либо детерминированную схему, но наиболее естественно так и считать это воздействие случайным, т.е. принять для его описания стохастическую модель. Наконец, случайные компоненты могут быть искусственно введены в чисто детерминированную модель из-за преимуществ при решении математической задачи, например, при вычислении интегралов по области сложной формы и высокой размерности по методу Монте–Карло [2].

Слабым звеном при использовании стохастических моделей является выбор статистических гипотез о вероятностных характеристиках входных случайных величин и функций. Такие характеристики часто считаются либо полностью известными (например, принимается, что исходная величина распределена по нормальному закону с известными параметрами), либо доступными определению. Однако в реальных ситуациях чаще всего оказывается, что нужная информация отсутствует; более того, во многих случаях ситуация является не стохастической, а неопределенной.

Тем не менее, одна из основных тенденций современной математики и ее приложений состоит в резком повышении роли тех разделов науки, которые анализируют явления, имеющие случайный характер, и основываются на теории вероятностей. И всего лишь небольшим преувеличением прозвучала шутка американского математика Дж. Дуба, начавшего свой доклад в Московском математическом обществе словами: «Всем специалистам по теории вероятностей хорошо известно, что математика представляет собой часть теории вероятностей». Эта тенденция объясняется тем, что большинство возникших в последние десятилетия новых математических дисциплин, оказались тесно связанными с теорией вероятностей. При этом возникновение ряда новых, в большинстве своем «порожденных» теорией вероятностей, наук (например, теория игр, теория информации) привело к положению, при котором теорию вероятностей также приходится рассматривать как объединение большого числа разнородных и достаточно глубоко развитых математических дисциплин [2].

Математическая статистика разрабатывает математический аппарат установления статистических закономерностей и получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях из данных наблюдений или экспериментов.

С учетом сказанного можно определить теорию вероятностей и математическую статистику как математическую науку, выясняющую закономерности, которые появляются при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Теория вероятностей вначале развивалась как прикладная дисциплина. По-видимому, будет верным утверждение, что теория вероятности обязана своему появлению азартным играм. Хотя сегодня теория вероятностей с азартными играми имеет столько же общего как геометрия с измерением площадей. Игра в кости была самой популярной азартной игрой до конца Средних веков. Слово «азарт» происходи от арабского слова «alzar», переводимого как «игральная кость». Согласно греческой легенде, игру в кости предложил Паламедей для развлечения греческих солдат, скучающих при ожидании битвы при Трое (V в. век до н. э.).

Возможно, игра в кости была известна значительно раньше. Так Дж. Нейман в своей книге «Вводный курс теории вероятностей и математической статистики» пишет, что археологи обнаружили в гробнице фараона две пары костей: «честные» (с равными вероятностями выпадения всех граней) и фальшивые (с умышленным смещением центра тяжести, что увеличивало вероятность выпадения шестерок).

Карточные игры появились в Европе лишь в XIV в., в то время как игра в кости пользовалась успехом еще в Древнем Египте во времена 1-й династии, позднее в Греции и Римской империи.

Самой ранней книгой по теории вероятностей является «Книга об игре в кости» Джордано Кардано (1501–1576). Эта книга была опубликована лишь в 1663 г., спустя 100 лет после написания. Аналогичный трактат был написан Галилеем между 1613 и 1624 г.

Ключевыми моментами развития теории вероятностей были парадоксы, возникающие при попытках моделирования азартных игр. Рассмотрим некоторые из них [3].

Парадокс 1. Игральная кость при бросании с равной вероятностью падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. Когда бросают две кости, сумма выпавших очков заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 можно получить двумя различными способами:

9 = 4 + 5 = 6 + 3;

10 = 5 + 5 = 4 + 6.

В задаче с тремя костями 9 и 10 получаются шестью способами.

Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10 – чаще, когда бросают три кости. Несмотря на простоту задачи, некоторым великим математикам не удавалось ее решить, так как они забывали о необходимости учета порядка выпадения костей. Ошибались и Лейбниц и Даламбер.

Парадокс 2. Однажды Даламберу задали вопрос: с какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом вверх. Ответ ученого был 2/3. Ошибкой Даламбера было то, что он рассматривал три возможных исхода (ГР, РР, ГГ) вместо четырех (ГР, РГ, РР, ГГ).

Парадокс 3. Задача шевалье де Мере. Одновременно подбрасываются две кости. Какова вероятность того, что в двадцати четырех подбрасываниях две шестерки выпадут, по крайней мере, 1 раз. По его подсчетам эта вероятность больше 1/2. Но, играя длительное время, он почему-то проигрывал. Шевалье обратился за помощью к Блезу Паскалю, который решил ее и показал, что эта вероятность равна 0,49. Эта задача была также решена Пьером Ферма. Дата опубликования Паскалем решения этой задачи (1654 г.) считается днем рождения науки «Теория вероятностей».

Дата добавления: 2015-07-08