I. Определение группы.

При определении бинарных операций на множествах произвольной природы удобно сохранить термины умножение и произведение и записывать бинарную операцию в виде или же (в некоторых случаях) сложение и сумма и использовать аддитивную запись: .

Определение. Множество называется группой, если выполнены следующие условия:

1) на множестве введена бинарная операция ;

2) введенная бинарная операция является ассоциативной:

;

3) множество содержит единичный элемент , обладающий свойством для всех ;

4) для любого элемента существует обратный элемент такой, что .

Пример 3. Пусть . В качестве бинарной операции на множестве целых чисел рассмотрим обычное сложение. Эта операция удовлетворяет всем трем необходимым условиям группы:

1) ассоциативность - ;

2) единичным элементом является ;

3) обратным элементом к будет элемент ().

Следовательно, множество целых чисел является группой с бинарной операцией – сложение.

Определение. Два элемента и группы коммутируют друг с другом, если .

Определение. Если все элементы группы коммутируют друг с другом, то такая группа называется коммутативной или абелевой. Если какие-либо элементы группы не коммутируют друг с другом, то такая группа называется неабелевой.

Определение. Число элементов в группе называется порядком этой группы.

Определение. Если число элементов в группе конечно, то такая группа называется конечной группой. Если же группа содержит счетное число элементов, то ее называют бесконечной дискретной группой (например, ).

Наряду с дискретными группами в современной физике часто рассматриваются непрерывные группы (топологические группы или группы Ли).

Определение. Если все элементы группы (включая единичный элемент) представимы в виде степени одного элемента, то группа называется циклической и обозначается , где - порядок группы. Группа может быть реализована вращениями вокруг своего центра многоугольника в его плоскости, совмещающими многоугольник с самим с собой. Обозначим элемент группы (вращение на угол ) через . Закон композиции в группе введем правилом . Очевидно, что - единичный элемент группы, а элемент является обратным элементом к элементу . Любое рассматриваемое вращение многоугольника представимо в виде некоторой степени вращения на угол , где - число углов рассматриваемого многоугольника, т.е. .

Определение. Симметрической группой степени называется группа перестановок множества из элементов. Под перестановкой же понимается взаимно однозначное отображение множества на себя, при этом элементы множества меняются местами (или именами). Поскольку для перестановки не важна природа элементов множества, а только их порядок (или их номера) перестановку можно задать таблицей. Например, перестановка, заданная таблицей

,

говорит нам, что первый элемент становится третьим, второй – четвертым, третий – вторым, а четвертый – первым. Закон композиции в симметрической группе задается следующим образом. Пусть заданы две перестановки и . Переставим столбцы таблицы, соответствующей второй перестановке, так, чтобы ее верхняя строчка совпала бы с нижней строчкой таблицы первой перестановки . Тогда . Заметим, что перестановка столбцов таблицы, не меняет саму перестановку.

Пример 4. Пусть и . Тогда

.

II. Таблица умножения группы.

Для задания той или иной группы достаточно построить ее таблицу умножения. Она похожа на привычную арифметическую таблицу умножения. Элементы группы располагаются в верхней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы, а внутри нее размещаются произведения элементов

Пример 5. Рассмотрим симметрическую группу , элементами которой являются перестановки: - тождественная перестановка (единичный элемент группы), , , ,

, . Таблица умножения этой группы имеет вид

.

Отметим основные свойства таблицы умножения любой группы (для группы их легко увидеть в приведенном выше примере):

1. Если группа имеет элементов, то ее таблица умножения имеет строк и столбцов, т.е. является квадратной с общим числом символов .

2. Таблица содержит только элементы группы, причем в каждой строке и в каждом столбце эти элементы различные. Следовательно, каждая строка и каждый столбец содержит все элементы группы.

3. Имеются только одна строка и один столбец, в которых элементы группы стоят в том же порядке, в котором они стоят над таблицей или левее таблицы (эти строка и столбец задаются единичным элементом группы и отражают свойства единичного элемента ).

4. Таблица умножения абелевой группы симметрична относительно главной диагонали (симметрическая группа не является абелевой: , в то время как ).

5. Возьмем какую-либо строку таблицы умножения группы (скажем под номером ) и найдем в ней единичный элемент. Пусть он принадлежит столбцу под номером . Тогда на пересечении строки с номером и столбца с номером стоит также единичный элемент группы, т.е. единичные элементы группы стоят в таблице умножения либо на главной диагонали, либо симметрично относительно нее. Это свойство таблицы отражает свойство обратного элемента и позволяет легко находить обратные элементы. Например, элемент стоит в третьей строке, а единичный элемент в этой строке находится во втором столбце, следовательно, элементы и взаимно обратны.

Определение. Пусть и . Порядком элемента называется наименьшее положительное число , удовлетворяющее условию . Очевидно, что для циклических групп порядок элемента равен порядку группы.

Определение. Если - множество элементов, принадлежащих группе , таких, что все элементы группы могут быть выражены в виде произведений элементов из (и их обратных), то множество называется системой образующих группы (сами же элементы множества называются образующими группы ).

Поскольку каждый элемент циклической группы представляется степенью одного элемента этой группы, то эта группа имеет одну образующую. Симметрическая группа имеет две образующие, например,

.

Определение. Множество называется подгруппой группы , если

1) каждый элемент множества является элементом группы ;

2) есть группа относительно закона композиции, определенного в группе .

Проверка факта, что подмножество , является подгруппой группы , сводится к проверке трех условий:

1) ;

2) ;

3) .

Любая группа имеет две тривиальные подгруппы – единичный элемент и сама группа . Эти две подгруппы называются несобственными подгруппами группы , остальные ее подгруппы (если они существуют) называются собственными подгруппами.

Пример 6. Множества и являются собственными подгруппами симметрической группы .

III. Отображения групп. Теорема Кэли.

Определение. Пусть мы имеем две группы и , а также отображение группы на группу . Если это отображение сохраняет групповую операцию – образ произведения двух элементов равен произведению их образов, т. е. , то отображение называется гомоморфным отображением или гомоморфизмом.

Пример 7. Рассмотрим две циклические группы и . Гомоморфизмом будет отображение , заданное правилом .

Определение. Взаимно однозначное гомоморфное отображение одной группы на другую называется изоморфным отображением или изоморфизмом. Сами группы при этом называют изоморфными.

Изоморфные группы имеют одинаковое число элементов и одинаковую групповую структуру.

Пример 8. Группа вращений пятиугольника изоморфна группе , в которой закон композиции – сложение по модулю пять. Таблица умножения такой группы имеет вид

.

Изоморфизмом является отображение , заданное правилом

.

Симметрические группы играют особую роль в теории групп, о чем говорит теорема Кэли.

Теорема Кэли. Всякая группа порядка изоморфна некоторой подгруппе симметрической группе .

Следовательно, задачу изучения структуры всех конечных групп можно перевести в плоскость изучения подгрупп симметрических групп.

IV. Смежные классы. Теорема Лагранжа.

Рассмотрим группу порядка , которая имеет собственную подгруппу порядка . Пусть состоит из элементов . Так как , то в группе найдется элемент , не принадлежащий подгруппе . Образуем множество произведений элемента со всеми элементами подгруппы : . Все элементы множества

различны и не принадлежат подгруппе . Если в группе найдется элемент , не принадлежащий множествам и , то образуем множество . Все элементы множества

различны и не принадлежат множествам и . Повторяем эту процедуру до тех пор, пока на исчерпаем все элементы группы . Пусть последним мы образовали множество . Множества вида (включая саму подгруппу ) называют левыми смежными классами подгруппы в группе . При этом справедливо равенство

.

Более точно левые смежные классы образуют разбиение группы . Следовательно, . Это равенство формулируется в виде теоремы.

Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы конечной группы есть делитель порядка группы.

Пример 9. Рассмотрим симметрическую группу с ее отмеченной выше подгруппой . Образуем левый смежный класс . Классы и полностью исчерпывают группу. Следовательно, . Возможен другой вариант .

Аналогичным образом можно построить правые смежные классы . В общем случае .

Если порядок группы – простое число, то она не имеет собственных подгрупп. Все группы такого порядка – циклические группы.

V. Инвариантные подгруппы. Факторгруппа.

Определение. Говорят, что элемент группы сопряжен элементу , если в группе можно найти элемент такой, что .

Поскольку понятие сопряжения является отношением эквивалентности, группа разбивается на классы эквивалентности.

Пример 10. Симметрическая группа разбивается на три класса эквивалентности .

Пусть - подгруппа группы . Заметим, что для любого элемента группы множество вида также является группой, называемой сопряженной подгруппой подгруппе в группе .

Определение. Если для всех элементов выполняется равенство , то подгруппа называется инвариантной подгруппой(самосопряженной подгруппой или нормальным делителем) группы .

Для такой подгруппы , т.е. левые и правые смежные классы совпадают.

Пример 11. Инвариантной подгруппой симметрической группы является подгруппа .

Определение. Единичный элемент и вся группа называются тривиальными инвариантными подгруппами группы .

Определение. Группа, которая не имеет инвариантных собственных подгрупп, называется простой группой.

Определение. Группа называется полупростой, если ни одна из ее инвариантных подгрупп не является абелевой.

Определение. Группа смежных классов инвариантной подгруппы называется факторгруппой и обозначается . Закон композиции в такой группе вводится правилом .

Пример 12. Факторгруппа состоит из двух элементов с таблицей умножения

.

Можно задать гомоморфное отображение группы на факторгруппу правилом: каждому элементу ставится в соответствие смежный класс , его содержащий.

Поля.

Определение. Множество называется полем, если на нем определены две бинарные операции (сложение и умножение ) и выполняются следующие условия:

1. - абелева группа относительно сложения. Единичный элемент этой группы будем обозначать через «0», а элемент, обратный к элементу - через «».

2. Множество - абелева группа относительно умножения. Единичный элемент этой группы будем обозначать через «1», а элемент, обратный к элементу - через «». Заметим, что .

3. Операция умножения является дистрибутивной относительно операции сложения: для любых , и , принадлежащих .

Приведем примеры полей.

1. Множество рациональных чисел .

2. Множество действительных чисел .

3. . Таблицу сложения по модулю 5 мы ввели ранее, дополним ее таблицей умножения по модулю 5.

.

Получим поле Галуа . В общем случае поле Галуа обозначают , где - простое число.

ЗАДАЧИ

Дата добавления: 2015-07-08