III. Множество рациональных чисел.

Понятие рационального числа основано на понятии простой (обыкновенной) дроби , где . На множестве простых дробей также введены две бинарные операции правилами: и .

Рассмотрим две дроби и , для которых выполняется равенство .

Дроби, которые удовлетворяют этому равенству, назовем эквивалентными дробями и будем писать . Введенное отношение будет отношением эквивалентности. Действительно, имеют место

1) рефлексивность: ;

2) симметрия: если , то ();

3) транзитивность: если и , то .

Введенное отношение эквивалентности позволяет разбить множество обыкновенных дробей на взаимно непересекающиеся классы. Рациональным числом будем называть класс всех эквивалентных дробей. При работе с рациональными числами можно взять любого представителя из класса, соответствующего данному рациональному числу (например, или , или и т. д.). При проведении вычислений с рациональными числами наиболее удобно брать дроби , где и взаимно простые числа. Такую запись рационального числа будем называть записью в виде несократимой дроби.

IV. Действительные числа.

Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь вида

,

где из двух знаков «» берется какой-либо один: плюс – для положительных чисел (обычно не пишется), минус – для отрицательных чисел. Здесь - некоторое натуральное число или ноль, а - одна из цифр .

Рациональные числа задаются десятичными дробями с повторяющимися цифрами или конечными десятичными дробями.

Пример 1. а) - чистая периодическая дробь;

б) - смешанная периодическая дробь;

в) (ноль в периоде обычно отбрасывают).

Бесконечные десятичные дроби с неповторяющимися числами называются иррациональными числами.

Пример 2. а) ;

б) .

На множестве действительных чисел также вводятся две бинарные операции: сложение и умножение. Очевидно, . На множестве действительных чисел также введено отношение порядка.

А) Два числа и называются равными, если они имеют одинаковые знаки и справедливы равенства .

Б) Если и - положительные неравные числа, то или же при невыполнении этого неравенства существует такое натуральное число ,

что () и . Будем считать, что , если или же .

В) Если - положительное число, - отрицательное число, положим .

С) Если и - отрицательные числа, будем считать, что при условии , и при условии .

Целою частью числа называется наибольшее целое число, меньшее .

Дробной частью числа называется разность .

Теорема 1. Для любых двух вещественных чисел и найдется рациональное число такое, что .

Теорема 2. Для любых двух вещественных чисел и найдется иррациональное число такое, что .

Следовательно, между двумя любыми не равными друг другу действительными числами можно вставить бесконечное число как рациональных, так и иррациональных чисел. Множество является всюду плотным множеством.

Пусть - непустое подмножество .

Определение. Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует число такое, что выполняется неравенство . Число называется верхней гранью множества , а - его нижней гранью.

Определение. Число называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества , если: 1) ; 2) .

Определение. Число называется точной нижней гранью ограниченного снизу множества , если: 1) ; 2) .

Точная верхняя грань обозначается , нижняя - .

Определение. Элемент называется наибольшим или максимальным (наименьшим или минимальным) элементом множества , если (). Эти числа соответственно обозначаются и . Согласно данным определениям точная верхняя грань множества – его наименьшая верхняя грань, точная нижняя грань множества – его наибольшая верхняя грань.

Определение. Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Если множество не ограничено сверху (снизу), то пишут .

Группы

Дата добавления: 2015-07-08