Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

III. Множество рациональных чисел.

Читайте также:
  1. I. Множество натуральных чисел.
  2. В качестве примеров методов выявления иррациональных суждений приводим описание трех из наиболее часто используемых методик.
  3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
  4. Интегрирование рациональных дробей
  5. Интегрирование рациональных дробей.
  6. Множество классификаций

Понятие рационального числа основано на понятии простой (обыкновенной) дроби , где . На множестве простых дробей также введены две бинарные операции правилами: и .

Рассмотрим две дроби и , для которых выполняется равенство .

Дроби, которые удовлетворяют этому равенству, назовем эквивалентными дробями и будем писать . Введенное отношение будет отношением эквивалентности. Действительно, имеют место

1) рефлексивность: ;

2) симметрия: если , то ( );

3) транзитивность: если и , то .

Введенное отношение эквивалентности позволяет разбить множество обыкновенных дробей на взаимно непересекающиеся классы. Рациональным числомбудем называть класс всех эквивалентных дробей. При работе с рациональными числами можно взять любого представителя из класса, соответствующего данному рациональному числу (например, или , или и т. д.). При проведении вычислений с рациональными числами наиболее удобно брать дроби , где и взаимно простые числа. Такую запись рационального числа будем называть записью в виде несократимой дроби.

IV. Действительные числа.

Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь вида

,

где из двух знаков « » берется какой-либо один: плюс – для положительных чисел (обычно не пишется), минус – для отрицательных чисел. Здесь - некоторое натуральное число или ноль, а - одна из цифр .

Рациональные числа задаются десятичными дробями с повторяющимися цифрами или конечными десятичными дробями.

Пример 1. а) - чистая периодическая дробь;

б) - смешанная периодическая дробь;

в) (ноль в периоде обычно отбрасывают).

Бесконечные десятичные дроби с неповторяющимися числами называются иррациональными числами.

Пример 2. а) ;

б) .

На множестве действительных чисел также вводятся две бинарные операции: сложение и умножение. Очевидно, . На множестве действительных чисел также введено отношение порядка.

А) Два числа и называются равными, если они имеют одинаковые знаки и справедливы равенства .

Б) Если и - положительные неравные числа, то или же при невыполнении этого неравенства существует такое натуральное число ,

что ( ) и . Будем считать, что , если или же .

В) Если - положительное число, - отрицательное число, положим .

С) Если и - отрицательные числа, будем считать, что при условии , и при условии .

Целою частью числа называется наибольшее целое число, меньшее .

Дробной частью числа называется разность .

Теорема 1. Для любых двух вещественных чисел и найдется рациональное число такое, что .

Теорема 2. Для любых двух вещественных чисел и найдется иррациональное число такое, что .

Следовательно, между двумя любыми не равными друг другу действительными числами можно вставить бесконечное число как рациональных, так и иррациональных чисел. Множество является всюду плотным множеством.

Пусть - непустое подмножество .

Определение. Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует число такое, что выполняется неравенство . Число называется верхней гранью множества , а - его нижней гранью.

Определение. Число называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества , если: 1) ; 2) .

Определение. Число называется точной нижней гранью ограниченного снизу множества , если: 1) ; 2) .

Точная верхняя грань обозначается , нижняя - .

Определение. Элемент называется наибольшим или максимальным (наименьшим или минимальным) элементом множества , если ( ). Эти числа соответственно обозначаются и . Согласно данным определениям точная верхняя грань множества – его наименьшая верхняя грань, точная нижняя грань множества – его наибольшая верхняя грань.

Определение. Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Если множество не ограничено сверху (снизу), то пишут .

Группы


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 310 | Нарушение авторских прав


 

 

<== предыдущая страница | следующая страница ==>
I. Множество натуральных чисел.| I. Определение группы.

mybiblioteka.su - 2015-2022 год. (0.018 сек.)