Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Скорость и ускорение при координатном способе задания движения

Читайте также:
  1. C — Техника передвижения
  2. C — Техника передвижения
  3. D — Техника передвижения
  4. D — Техника передвижения
  5. I. Информационные задания
  6. II Собрать схему усилителя в соответствии с номером задания.
  7. II. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

 

Пусть дан закон движения точки М в координатной форме:

 

x = f 1 (t);

y = f 2 (t); (2.2´)

z = f 3 (t),

 

а нужно найти ее скорость v и ускорение a.

Представим радиус-вектор движущейся точки в виде:

 

r = x i + y j + z k, (2.5)

 

где x, y и z – координаты точки М в момент времени t, а i, j, k – неподвижные орты системы координат.

Дифференцируя (2.5) по времени, получим с учетом (2.3) и (2.4):

 

v = d r / dt = i + i + i; (2.6)

a = d v / dt = i + i + i.

 

С другой стороны:

 

v = vx i + vy i + vz i; (2.7)

a = ax i + ay i + az i.

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых ортах в (2.6) и (2.7), найдем

проекции векторов v и a на оси координат:

 

(2.8)

 

 

Модули векторов v и a будут равны:

 

v = | v | =

 

a = | a | =

 

Направляющие косинусы:

 

cos(v, i) = vx / v; cos(v, j) = vy / v; cos(v, k) = vz / v;

 

cos(a, i) = ax / a; cos(a, j) = ay / a; cos(a, k) = az / a.

 

Пример 2.1. Построить траекторию, а также найти скорость и ускорение точки в момент времени t = 1/2с при заданных уравнениях движения:

 

x = 2 + 2 sin (π t /2); (а)

y = 1 + 2 cos (π t /2),

где x, y в метрах.

Решение.

1). Исключаем из уравнений (а) время t.

 

(x – 2) = 2 sin (π t /2);

(y – 1) = 2 cos (π t /2).

 

Возводя в квадрат и суммируя, получим уравнение траектории:

 

(x – 2)2 + (y – 1)2 = 4,

 

которая представляет собой окружность радиуса R = 2 с центром в точке (2,1) (рис.2.3).

2). Определяем положение точки на траектории в указанный момент времени, подставляя t = 1/2 в уравнения (а):

 

x (1/2) = 2 + 2 sin (π/4) = 2 + ;

y (1/2) = 1 + 2 cos (π/4) = 1 + .

 

 

 

3). Определяем скорость точки в указанный момент времени в соответствии с (2.8) и строим вектор скорости v (1/2):

 

2 cos (π t /2)·(π/2) = π cos (π t /2);

= – 2 sin (π t /2)·(π/2) = – π sin (π t /2);

vx (1/2) = π cos (π/4) = π /2;

vy (1/2) = – π /2.

 

Отметим, что | v | = = π = const.

 

4). Определяем ускорение точки в указанный момент времени, дифференцируя (б) и строим вектор ускорения a (1/2):

 

– (π2/2) sin (π t /2);

– (π2/2) cos (π t /2);

ax (1/2) = – (π2/2) sin (π/4) = π2 /4;

ay (1/2) = – (π2/2) cos (π/4) = – π2 /4.

 

Отметим, что | a | = = π2/2 = const.

 

Ответ: траекторией точки является окружность (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4, скорость и ускорение точки при t = 1/2с равны: v (1/2) = (π /2, – π /2), a (1/2) = (π2 /4, – π2 /4).

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 379 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ | Предмет теоретической механики | Кривизна кривой | Скорость точки при естественном способе задания движения | Уравнения равнопеременного движение точки | Определение радиуса кривизны траектории | Примечания | ГЛАВА 3. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | ГЛАВА 4. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | Скорости и ускорения точек тела во вращательном движении |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Скорость и ускорение при векторном способе задания движения| Естественные оси координат

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)