Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Скорость и ускорение при координатном способе задания движения

Читайте также:
  1. C — Техника передвижения
  2. C — Техника передвижения
  3. D — Техника передвижения
  4. D — Техника передвижения
  5. I. Информационные задания
  6. II Собрать схему усилителя в соответствии с номером задания.
  7. II. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

 

Пусть дан закон движения точки М в координатной форме:

 

x = f1 (t);

y = f2 (t); (2.2´)

z = f3 (t),

 

а нужно найти ее скорость v и ускорение a.

Представим радиус-вектор движущейся точки в виде:

 

r = xi + yj + zk, (2.5)

 

где x, y и z – координаты точки М в момент времени t, а i, j, k – неподвижные орты системы координат.

Дифференцируя (2.5) по времени, получим с учетом (2.3) и (2.4):

 

v = dr/dt = i + i + i; (2.6)

a = dv/dt = i + i + i.

 

С другой стороны:

 

v = vxi +vyi +vzi; (2.7)

a = axi +ayi +azi.

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых ортах в (2.6) и (2.7), найдем

проекции векторов v и a на оси координат:

 

(2.8)

 

 

Модули векторов v и a будут равны:

 

v = | v | =

 

a = | a | =

 

Направляющие косинусы:

 

cos(v, i) = vx/v; cos(v, j) = vy/v; cos(v, k) = vz/v;

 

cos(a, i) = ax/a; cos(a, j) = ay/a; cos(a, k) = az/a.

 

Пример 2.1. Построить траекторию, а также найти скорость и ускорение точки в момент времени t = 1/2с при заданных уравнениях движения:

 

x = 2 + 2 sin (πt/2); (а)

y = 1 + 2 cos (πt/2),

где x,y в метрах.

Решение.

1). Исключаем из уравнений (а) время t.

 

(x – 2) = 2 sin (πt/2);

(y – 1) = 2 cos (πt/2).

 

Возводя в квадрат и суммируя, получим уравнение траектории:

 

(x – 2)2 + (y – 1)2 = 4,

 

которая представляет собой окружность радиуса R = 2 с центром в точке (2,1) (рис.2.3).

2). Определяем положение точки на траектории в указанный момент времени, подставляя t = 1/2 в уравнения (а):

 

x(1/2) = 2 + 2 sin (π/4) = 2 + ;

y(1/2) = 1 + 2 cos (π/4) = 1 + .

 

 

 

3). Определяем скорость точки в указанный момент времени в соответствии с (2.8) и строим вектор скорости v(1/2):

 

2 cos (πt/2)·(π/2) = π cos (πt/2);

= – 2 sin (πt/2)·(π/2) = – π sin (πt/2);

vx(1/2) = π cos (π/4) = π /2;

vy(1/2) = – π /2.

 

Отметим, что |v| = = π = const.

 

4). Определяем ускорение точки в указанный момент времени, дифференцируя (б) и строим вектор ускорения a(1/2):

 

– (π2/2) sin (πt/2);

– (π2/2) cos (πt/2);

ax(1/2) = – (π2/2) sin (π/4) = π2 /4;

ay(1/2) = – (π2/2) cos (π/4) = – π2 /4.

 

Отметим, что |a| = = π2/2 = const.

 

Ответ: траекторией точки является окружность (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4, скорость и ускорение точки при t = 1/2с равны: v(1/2) = (π /2, – π /2), a(1/2) = (π2 /4, – π2 /4).

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 252 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ | Предмет теоретической механики | Кривизна кривой | Скорость точки при естественном способе задания движения | Уравнения равнопеременного движение точки | Определение радиуса кривизны траектории | Примечания | ГЛАВА 3. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | ГЛАВА 4. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | Скорости и ускорения точек тела во вращательном движении |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Скорость и ускорение при векторном способе задания движения| Естественные оси координат

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.008 сек.)