Кривизна кривой

Рассмотрим на кривой линии с заданным началом и положительным направлением отсчета дуговой координаты две точки: точку М с ортом τ и точку М ´ с ортом τ ´(рис. 2.5, а). Пусть этим точкам соответствуют значения дуговой координаты s и s + Δ s.

Определение. Углом смежности дуги ММ ´ называется угол Δθ между ортами τ и τ ´.

Определение. Средней кривизной кривой на отрезке ММ ´ называется отношение угла смежности к длине дуги этого отрезка: k _ср = Δθ/Δ s.

Определение. Кривизной кривой в точке M называется предел этого отношения при Δ s →0:

.

В частности, для окружности радиуса R угол смежности d θ равен центральному углу, на который опирается дуга ММ ´, а ее длина ds = R d θ, поэтому k = d θ/ ds = 1/ R (рис. 2.5, б).

Таким образом, кривизна окружности – это величина, обратная ее радиусу, при этом окружность является кривой постоянной кривизны.

В общем случае кривизна кривой – переменная величина, зависящая от положения точки на этой кривой:

k = d θ/ ds = 1/ρ, (2.9)

где ρ – радиус круга кривизны кривой в точке М, то есть радиус окружности, проходящей через три точки М, М ´ и М˝ при М ´, М˝ → М. Очевидно, что эта окружность лежит в соприкасающейся плоскости.

Отметим, что кривизна прямой линии равна нулю, а ее радиус кривизны равен бесконечности.

Дата добавления: 2015-07-07