Определение радиуса кривизны траектории

Пусть дан закон движения точки в координатной форме (2.2), а нужно найти a _τ , a _n и определить радиус кривизны траектории.

Искомый радиус кривизны входит в выражение нормального ускорения точки:

a_n = v ²/ρ,(2.14)

поэтому можно наметить следующий план решения задачи.

По известному закону движения находим:

1) | v |² = v_x ² + v_y ² + v_z ²;

2) | a |² = a_x ² + a_y ² + a_z ²;

3) | a _τ | = | a | |cos(a, v)| = |(a · τ)|;

4) | a_n | = | a | |sin(a, v)| = |(a × v)|/| v |;

5) ρ = v ²/ a_n.

Рассмотрим подробнее данную процедуру, полагая для простоты, что точка движется в плоскости xOy.

Определяем касательное и нормальное ускорения как проекции полного ускорения на касательную и нормаль.

| a _τ | = | a |·|cos(a, v)| = |(a · τ)| = |(a · v)|/| v | = ; (2.21)

| a_n | = | a | |sin(a, v)| = |(a × v)|/| v | = , (2.22)

поскольку у векторного произведения:

i	j	k
ax	ay	az
vx	vy	vz

= i (a_y v_z – v_y a_z) – j (a_x v_z – v_x a_z) + k (a_x v_y – v_x a_y)

в нашем случае только последняя компонента будет отличной от нуля.

Находим с учетом (2.22) радиус кривизны траектории:

ρ = (2.23)

и кривизну кривой:

k = 1/ρ = . (2.24)

Отметим, что если известно уравнение траектории в виде y = y (x), то вместо (2.24) можно воспользоваться формулой, знакомой студентам из курсов математики или сопромата:

k = 1/ρ = . (2.25)

Нетрудно убедиться, что они равнозначны. В самом деле:

.

Подставляя в (2.25), получим:

k = 1/ρ = = =

= =

То есть действительно (2.25) эквивалентно (2.24).

Дата добавления: 2015-07-07