Читайте также:
|
|
Пусть дан закон движения точки в координатной форме (2.2), а нужно найти aτ , an и определить радиус кривизны траектории.
Искомый радиус кривизны входит в выражение нормального ускорения точки:
an = v2/ρ,(2.14)
поэтому можно наметить следующий план решения задачи.
По известному закону движения находим:
1) |v|2 = vx2 + vy2 + vz2;
2) |a|2 = ax2 + ay2 + az2;
3) | aτ | = |a| |cos(a,v)| = |(a·τ)|;
4) | an | = |a| |sin(a,v)| = |(a×v)|/|v|;
5) ρ = v2/an.
Рассмотрим подробнее данную процедуру, полагая для простоты, что точка движется в плоскости xOy.
Определяем касательное и нормальное ускорения как проекции полного ускорения на касательную и нормаль.
| aτ | = |a|·|cos(a,v)| = |(a·τ)| = |(a·v)|/|v| =
; (2.21)
| an | = |a| |sin(a,v)| = |(a×v)|/|v| =
, (2.22)
поскольку у векторного произведения:
i | j | k |
ax | ay | az |
vx | vy | vz |
= i (ay vz – vy az) – j (ax vz – vx az) + k (ax vy – vx ay)
в нашем случае только последняя компонента будет отличной от нуля.
Находим с учетом (2.22) радиус кривизны траектории:
ρ = (2.23)
и кривизну кривой:
k = 1/ρ = . (2.24)
Отметим, что если известно уравнение траектории в виде y = y(x), то вместо (2.24) можно воспользоваться формулой, знакомой студентам из курсов математики или сопромата:
k = 1/ρ = . (2.25)
Нетрудно убедиться, что они равнозначны. В самом деле:
.
Подставляя в (2.25), получим:
k = 1/ρ =
=
=
=
=
То есть действительно (2.25) эквивалентно (2.24).
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 211 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Уравнения равнопеременного движение точки | | | Примечания |