Определение радиуса кривизны траектории

Пусть дан закон движения точки в координатной форме (2.2), а нужно найти a_τ , a_n и определить радиус кривизны траектории.

Искомый радиус кривизны входит в выражение нормального ускорения точки:

a_n = v²/ρ,(2.14)

поэтому можно наметить следующий план решения задачи.

По известному закону движения находим:

1) |v|² = v_x² + v_y² + v_z²;

2) |a|² = a_x² + a_y² + a_z²;

3) | a_τ | = |a| |cos(a,v)| = |(a·τ)|;

4) | a_n | = |a| |sin(a,v)| = |(a×v)|/|v|;

5) ρ = v²/a_n.

Рассмотрим подробнее данную процедуру, полагая для простоты, что точка движется в плоскости xOy.

Определяем касательное и нормальное ускорения как проекции полного ускорения на касательную и нормаль.

| a_τ | = |a|·|cos(a,v)| = |(a·τ)| = |(a·v)|/|v| = ; (2.21)

| a_n | = |a| |sin(a,v)| = |(a×v)|/|v| = , (2.22)

поскольку у векторного произведения:

i	j	k
ax	ay	az
vx	vy	vz

= i (a_y v_z – v_y a_z) – j (a_x v_z – v_x a_z) + k (a_x v_y – v_x a_y)

в нашем случае только последняя компонента будет отличной от нуля.

Находим с учетом (2.22) радиус кривизны траектории:

ρ = (2.23)

и кривизну кривой:

k = 1/ρ = . (2.24)

Отметим, что если известно уравнение траектории в виде y = y(x), то вместо (2.24) можно воспользоваться формулой, знакомой студентам из курсов математики или сопромата:

k = 1/ρ = . (2.25)

Нетрудно убедиться, что они равнозначны. В самом деле:

.

Подставляя в (2.25), получим:

k = 1/ρ = = =

= =

То есть действительно (2.25) эквивалентно (2.24).

Дата добавления: 2015-07-07