Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Примечания

Читайте также:
  1. Вступительные примечания
  2. ГЛАВА 8. ЕЩЕ НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ К СКАЗАННОМУ В ВЫШЕНАЗВАННОЙ ВЕТКЕ.
  3. Двa примечания
  4. Примечания
  5. ПРИМЕЧАНИЯ
  6. Примечания
  7. Примечания

 

1. Процедура определения кривизны траектории может некоторыми деталями отличаться от рассмотренной выше. Например, касательное ускорение a τ можно искать, исходя из зависимости:

 

| v |2 = v τ2 = vx 2 + vy 2 + vz 2,

 

дифференцируя которую, получим:

 

,

 

откуда

 

 

что совпадает, как видим, с формулой (2.21) при движении точки в плоскости xOy.

Нормальное ускорение an также можно найти, исходя из соотношения

 

,

 

однако в любом случае мы определяем радиус кривизны траектории как ρ = v 2/ an.

 

2. Проверить правильность полученных результатов можно с помощью зависимости:

a τ2 + an 2 = ax 2 + ay 2.

 

3. Если скорость точки, движущейся по плоской кривой с конечным радиусом кривизны в некоторый момент времени станет равной нулю , то вместе со скоростью обратится в ноль и нормальное ускорение, поэтому формулы (2.23) и (2.24) дадут неверный результат.

Для определения кривизны кривой в этом случае вместо (2.24) нужно воспользоваться формулой (2.25) или изменить закон движения точки по траектории, что никак не повлияет на ее кривизну.

 

Пример 2.4. Определить минимальный и максимальный радиус кривизны эллипса с полуосями a и b (рис. 2.11).

Решение. Зададим любой закон движения точки, возможный при данной траектории. Например:

 

x = a cos t;

y = b sin t.

 

В самом деле, исключая параметр t, получим уравнение траектории, представляющей собой эллипс с полуосями a и b:

 

(x / a)2 + (y / b)2 = 1.

 

Проекции скоростей и ускорений будут равны:

 

 

Минимальный радиус кривизны эллипса будет в точке А, которой соответствует t = 0:

 

 

Максимальный радиус кривизны будет в точке В при t = π/2:

 

 

Подставляя в (2.23), получим:

 

ρ А =

 

ρ В =

 

Ответ: ρ А = b 2/ a; ρ В = a 2/ b.

Пример 2.5. Определить максимальную и минимальную кривизну траектории в примере 2.3.

Решение. Максимальная кривизна и соответственно минимальный радиус кривизны будут в нижней точке траектории, где движущаяся точка находится в начальный момент времени t 1 = 0 и затем через каждые π секунд.

Подставляя в формулу (2.24) , , получим:

 

k (0) = 1/ρ(0) =

 

Минимальной будет кривизна в самых верхних точках траектории, куда движущаяся точка попадает в моменты времени t 2 = π/2 и затем через каждые π секунд. При этом скорость и нормальное ускорение точки обращаются в ноль и формула (2.24) приводит к неопределенному результату.

В таких случаях, как уже отмечалось выше, нужно воспользоваться формулой (2.25) или изменить закон движения точки по траектории, задав его, например, в виде: x = t, y = t 2. При этом точке М 2(1,1) на рис. 2.10 будет соответствовать момент времени t = 1, для которого

 

 

и по формуле (2.24) для точки М 2(1,1) мы получим:

 

k (1,1) =

 

Ответ: k (0,0) = 2; k (1,1) = .

 

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 436 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ | Предмет теоретической механики | Скорость и ускорение при векторном способе задания движения | Скорость и ускорение при координатном способе задания движения | Естественные оси координат | Кривизна кривой | Скорость точки при естественном способе задания движения | Уравнения равнопеременного движение точки | ГЛАВА 4. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | Скорости и ускорения точек тела во вращательном движении |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Определение радиуса кривизны траектории| ГЛАВА 3. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)