Скорость и ускорение при векторном способе задания движения

Пусть известна зависимость (2.1) и нужно найти скорость и ускорение точки.

Скорость точки. Рассмотрим движущуюся точку на отрезке траектории, и пусть в моменты времени t и t + Δ t она занимает положения М и М ´ (рис. 2.1).

Вектор ММ ´ =Δ r = r (t + Δ t) – r (t) называется вектором перемещения точки за время Δ t.

Вектор v _ср = Δ r /Δ t называется вектором средней скорости точки за этот промежуток времени, он направлен по хорде ММ ´.

Вектор скорости в момент времени t определяется как предел этого отношения при стремлении промежутка времени к нулю: v (t) = Δ r /Δ t = d r / dt.

Отметим, что М ´→ М при Δ t → 0, а предельное положение секущей ММ ´ определяет касательную к кривой в точке М, поэтому можно дать следующее определение скорости точки.

Вектор скорости точки v равен производной от радиус-вектора r по времени и направлен по касательной к траектории в сторону движения:

v (t) = d r / dt. (2.3)

Ускорение точки. Рассмотрим точку на траектории в моменты времени t и t + Δ t (рис.2.2, а). Пусть точке М соответствует скорость v (t), а точке М ´ скорость v (t + Δ t).

Вектор Δ v = v (t + Δ t) – v (t) называется вектором изменения скорости точки за время Δ t.

Вектор a _ср = Δ v /Δ t называется вектором среднего ускорения точки за этот промежуток времени, он направлен по вектору Δ v и лежит в плоскости, через которую проходят векторы v (t) и v (t + Δ t), если последний вектор также перенести в точку М.

Вектор ускорения в момент времени t определяется как предел этого отношения при стремлении промежутка времени к нулю: a (t) = Δ v /Δ t = d v / dt.

Чтобы определить направление этого вектора построим годограф вектора скорости (рис. 2.2, б), на котором точкам М и М ´ будут соответствовать точки N и N ´, и проведем через точку М ´ плоскость, в которой лежит вектор v (t). Предельное положение этой плоскости при М ´→ М определяет соприкасающуюся плоскость в точке М. Теперь можно полностью определить ускорение точки.

Дата добавления: 2015-07-07