Читайте также:
|
|
Рассмотрим подробнее этот случай движения при следующей постановке задачи. Известно aτ= const, а также заданы значения дуговой координаты и скорости в начальный момент времени при t = 0: s(0) = s0 и v(0) = v0. Нужно найти закон движения точки s = s(t).
Математически поставленная задача формулируется как задача Коши для дифференциального уравнения
d2s/dt2 = aτ (2.15)
при заданных начальных условиях:
s(0) = s0 и v(0) = v0 . (2.16)
Уравнение (2.15) второго порядка эквивалентно системе двух уравнений первого порядка:
dv/dt = aτ; (2.17)
ds/dt = v. (2.18)
Разделяя переменные в (2.17), получим:
dv = aτ dt.
Интегрируя, найдем закон изменения скорости:
(2.19)
В математике последнее выражение называется первым интегралом. Подставляя (2.19) в (2.18) и снова интегрируя, получим второй интеграл, или решение задачи Коши (2.15) – (2.16).
В механике полученное выражение называется законом или уравнением равнопеременного движения:
s(t) = s0 + v0t +(1/2)aτt2. (2.20)
Пример 2.2. Перейти от координатного к естественному способу задания движения при данных из примера 2.1:
x = 2 + 2 sin (πt/2); (а)
y = 1 + 2 cos (πt/2)
и классифицировать движение точки.
Решение:
1). Уравнение траектории, необходимое для задания движения точки в естественной форме, уже было получено в примере 2.1: .
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 4.
2). Определяем положение точки на траектории в начальный момент времени, подставляя t = 0 в уравнения (а):
x(0) = 2 + 2 sin (0) = 2;
y(0) = 1 + 2 cos (0) = 3
и выбираем эту точку O'(2,3)за начало отсчета (рис. 2.9).
3). Определяем скорость точки в начальный момент времени, подставляя t = 0 в уравнения (б) в примере 2.1:
vx(0) = π cos (0) = π;
vy(0) = = – π sin (0) = 0.
Вектор начальной скорости v(0) направлен вправо, то есть точка движется по ходу часовой стрелки. Это направление и примем за положительное направление отсчета дуговой координаты s.
4). Чтобы найти закон движения s = s(t) воспользуемся соотношением
ds = .
Подставляя сюда dx = (dx/dt)dt = и dy = (dy/dt)dt =
, и учитывая, что
= vτ , придем к соотношению:
ds = =
dt = vτ dt.
Интегрируя и учитывая, что vτ = |v| = π, найдем искомое уравнение движения точки:
s = πt.
5). Касательное ускорение точки aτ = = 0, полное ускорение точки в каждый момент времени направлено по нормали.
Ответ: точка равномерно движется по окружности (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4 в направлении хода часовой стрелки по закону s = πt.
Пример 2.3. Определить скорость и ускорение точки по заданным уравнениям движения:
x = sint, (а)
y = sin2t,
где x, y в метрах, для следующих моментов времени: t1 = 0, t2 = π/2 и t3 = 5π/4с.
Решение:
1). Исключая из (а) параметр t,получим уравнение: y = x2. Траекторией по определению будет только часть этой параболы: |x| ≤ 1 (рис. 2.10).
2). Определяем положение точки на траектории в указанные моменты времени:
x(t1) = x(0) = 0, y(t1) = y(0) = 0;
x(t2) = x(π/2) = sin(π/2) = 1, y (t2) = y(π/2) = sin2(π/2) = 1;
_
x(t3) = x(5π/4) = sin(5π/4) = – Ö2/2 , y (t3) = y(5π/4) = sin2(5π/4) = 1/2
и отмечаем их на траектории: M1 = M(t1), M2 = M(t2) и M3 = M(t3), при этом M1 совпадает с началом координат – центром О.
3). Определяем проекции скорости точки, дифференцируя уравнения (а):
, (б)
вычисляем их значения для указанных моментов времени:
;
;
и строим векторы скоростей v(t1) и v(t3), отмечая при этом, что v(t2) = 0.
3). Находим проекции вектора ускорения, дифференцируя уравнения (б):
, (в)
вычисляем их значения для указанных моментов времени:
;
;
и строим векторы ускорений a(t1), a(t2) и a(t3).
Отметим, что в точке M1 вектор a(t1) = an(t1), то есть он перпендикулярен вектору скорости v(t1) и совпадает с нормальной составляющей ускорения, в то время как aτ(t1) = 0. При этом скорость движущейся точки достигает максимального значения.
В точке M2 наоборот – максимального значения достигает ускорение точки, вектор которого a(t2) совпадает с касательной составляющей ускорения, поскольку an(t2) = 0. При этом на участке M1M2, то есть в течение интервала времени от t1 до t2, точка движется замедленно. Затем от t2 = π/2 до t = π точка будет двигаться ускоренно.
Аналогично происходит и на участке M1M4, где точка также движется замедленно в течение интервала времени (π,3π/2). При этом в точке M3 отличны от нуля как касательное, так и нормальное ускорения.
Ответ. Траектория точки – часть параболы: y = x2, |x| ≤ 1, точка совершает периодическое колебательное движение относительно положения равновесия, совпадающего с началом координат.
Векторы скоростей и ускорений точки в указанные моменты времени равны:
v(t1) = (1,0); v(t2) = (0,0); v(t3) = ( ,1);
a(t1) = (0,2); a(t2) = (–1,–2); a(t3) = ( ,0).
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 439 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Скорость точки при естественном способе задания движения | | | Определение радиуса кривизны траектории |