Уравнения равнопеременного движение точки

Рассмотрим подробнее этот случай движения при следующей постановке задачи. Известно a_τ= const, а также заданы значения дуговой координаты и скорости в начальный момент времени при t = 0: s(0) = s₀ и v(0) = v₀. Нужно найти закон движения точки s = s(t).

Математически поставленная задача формулируется как задача Коши для дифференциального уравнения

d²s/dt² = a_τ (2.15)

при заданных начальных условиях:

s(0) = s₀ и v(0) = v₀ . (2.16)

Уравнение (2.15) второго порядка эквивалентно системе двух уравнений первого порядка:

dv/dt = a_τ; (2.17)

ds/dt = v. (2.18)

Разделяя переменные в (2.17), получим:

dv = a_τ dt.

Интегрируя, найдем закон изменения скорости:

(2.19)

В математике последнее выражение называется первым интегралом. Подставляя (2.19) в (2.18) и снова интегрируя, получим второй интеграл, или решение задачи Коши (2.15) – (2.16).

В механике полученное выражение называется законом или уравнением равнопеременного движения:

s(t) = s₀ + v₀t +(1/2)a_τt². (2.20)

Пример 2.2. Перейти от координатного к естественному способу задания движения при данных из примера 2.1:

x = 2 + 2 sin (πt/2); (а)

y = 1 + 2 cos (πt/2)

и классифицировать движение точки.

Решение:

1). Уравнение траектории, необходимое для задания движения точки в естественной форме, уже было получено в примере 2.1: .

(x – 2)² + (y – 1)² = 4.

2). Определяем положение точки на траектории в начальный момент времени, подставляя t = 0 в уравнения (а):

x(0) = 2 + 2 sin (0) = 2;

y(0) = 1 + 2 cos (0) = 3

и выбираем эту точку O'(2,3)за начало отсчета (рис. 2.9).

3). Определяем скорость точки в начальный момент времени, подставляя t = 0 в уравнения (б) в примере 2.1:

v_x(0) = π cos (0) = π;

v_y(0) = = – π sin (0) = 0.

Вектор начальной скорости v(0) направлен вправо, то есть точка движется по ходу часовой стрелки. Это направление и примем за положительное направление отсчета дуговой координаты s.

4). Чтобы найти закон движения s = s(t) воспользуемся соотношением

ds = .

Подставляя сюда dx = (dx/dt)dt = и dy = (dy/dt)dt = , и учитывая, что = v_τ , придем к соотношению:

ds = = dt = v_τ dt.

Интегрируя и учитывая, что v_τ = |v| = π, найдем искомое уравнение движения точки:

s = πt.

5). Касательное ускорение точки a_τ = = 0, полное ускорение точки в каждый момент времени направлено по нормали.

Ответ: точка равномерно движется по окружности (x – 2)² + (y – 1)² = 4 в направлении хода часовой стрелки по закону s = πt.

Пример 2.3. Определить скорость и ускорение точки по заданным уравнениям движения:

x = sint, (а)

y = sin²t,

где x, y в метрах, для следующих моментов времени: t₁ = 0, t₂ = π/2 и t₃ = 5π/4с.

Решение:

1). Исключая из (а) параметр t,получим уравнение: y = x². Траекторией по определению будет только часть этой параболы: |x| ≤ 1 (рис. 2.10).

2). Определяем положение точки на траектории в указанные моменты времени:

x(t₁) = x(0) = 0, y(t₁) = y(0) = 0;

x(t₂) = x(π/2) = sin(π/2) = 1, y (t₂) = y(π/2) = sin²(π/2) = 1;

_

x(t₃) = x(5π/4) = sin(5π/4) = – Ö2/2 , y (t₃) = y(5π/4) = sin²(5π/4) = 1/2

и отмечаем их на траектории: M₁ = M(t₁), M₂ = M(t₂) и M₃ = M(t₃), при этом M₁ совпадает с началом координат – центром О.

3). Определяем проекции скорости точки, дифференцируя уравнения (а):

, (б)

вычисляем их значения для указанных моментов времени:

;

;

и строим векторы скоростей v(t₁) и v(t₃), отмечая при этом, что v(t₂) = 0.

3). Находим проекции вектора ускорения, дифференцируя уравнения (б):

, (в)

вычисляем их значения для указанных моментов времени:

;

;

и строим векторы ускорений a(t₁), a(t₂) и a(t₃).

Отметим, что в точке M₁ вектор a(t₁) = a_n(t₁), то есть он перпендикулярен вектору скорости v(t₁) и совпадает с нормальной составляющей ускорения, в то время как a_τ(t₁) = 0. При этом скорость движущейся точки достигает максимального значения.

В точке M₂ наоборот – максимального значения достигает ускорение точки, вектор которого a(t₂) совпадает с касательной составляющей ускорения, поскольку a_n(t₂) = 0. При этом на участке M₁M₂, то есть в течение интервала времени от t₁ до t₂, точка движется замедленно. Затем от t₂ = π/2 до t = π точка будет двигаться ускоренно.

Аналогично происходит и на участке M₁M₄, где точка также движется замедленно в течение интервала времени (π,3π/2). При этом в точке M₃ отличны от нуля как касательное, так и нормальное ускорения.

Ответ. Траектория точки – часть параболы: y = x², |x| ≤ 1, точка совершает периодическое колебательное движение относительно положения равновесия, совпадающего с началом координат.

Векторы скоростей и ускорений точки в указанные моменты времени равны:

v(t₁) = (1,0); v(t₂) = (0,0); v(t₃) = ( ,1);

a(t₁) = (0,2); a(t₂) = (–1,–2); a(t₃) = ( ,0).

Дата добавления: 2015-07-07