Уравнения равнопеременного движение точки

Рассмотрим подробнее этот случай движения при следующей постановке задачи. Известно a _τ= const, а также заданы значения дуговой координаты и скорости в начальный момент времени при t = 0: s (0) = s ₀ и v (0) = v ₀. Нужно найти закон движения точки s = s (t).

Математически поставленная задача формулируется как задача Коши для дифференциального уравнения

d ² s / dt ² = a _τ (2.15)

при заданных начальных условиях:

s (0) = s ₀ и v (0) = v ₀. (2.16)

Уравнение (2.15) второго порядка эквивалентно системе двух уравнений первого порядка:

dv / dt = a _τ; (2.17)

ds / dt = v. (2.18)

Разделяя переменные в (2.17), получим:

dv = a _τ dt.

Интегрируя, найдем закон изменения скорости:

(2.19)

В математике последнее выражение называется первым интегралом. Подставляя (2.19) в (2.18) и снова интегрируя, получим второй интеграл, или решение задачи Коши (2.15) – (2.16).

В механике полученное выражение называется законом или уравнением равнопеременного движения:

s (t) = s ₀ + v ₀ t +(1/2) a _τ t ². (2.20)

Пример 2.2. Перейти от координатного к естественному способу задания движения при данных из примера 2.1:

x = 2 + 2 sin (π t /2); (а)

y = 1 + 2 cos (π t /2)

и классифицировать движение точки.

Решение:

1). Уравнение траектории, необходимое для задания движения точки в естественной форме, уже было получено в примере 2.1:.

(x – 2)² + (y – 1)² = 4.

2). Определяем положение точки на траектории в начальный момент времени, подставляя t = 0 в уравнения (а):

x (0) = 2 + 2 sin (0) = 2;

y (0) = 1 + 2 cos (0) = 3

и выбираем эту точку O' (2,3)за начало отсчета (рис. 2.9).

3). Определяем скорость точки в начальный момент времени, подставляя t = 0 в уравнения (б) в примере 2.1:

v_x (0) = π cos (0) = π;

v_y (0) = = – π sin (0) = 0.

Вектор начальной скорости v (0) направлен вправо, то есть точка движется по ходу часовой стрелки. Это направление и примем за положительное направление отсчета дуговой координаты s.

4). Чтобы найти закон движения s = s (t) воспользуемся соотношением

ds = .

Подставляя сюда dx = (dx / dt) dt = и dy = (dy / dt) dt = , и учитывая, что = v _τ, придем к соотношению:

ds = = dt = v _τ dt.

Интегрируя и учитывая, что v _τ = | v | = π, найдем искомое уравнение движения точки:

s = π t.

5). Касательное ускорение точки a _τ = = 0, полное ускорение точки в каждый момент времени направлено по нормали.

Ответ: точка равномерно движется по окружности (x – 2)² + (y – 1)² = 4 в направлении хода часовой стрелки по закону s = π t.

Пример 2.3. Определить скорость и ускорение точки по заданным уравнениям движения:

x = sin t, (а)

y = sin² t,

где x, y в метрах, для следующих моментов времени: t ₁ = 0, t ₂ = π/2 и t ₃ = 5π/4с.

Решение:

1). Исключая из (а) параметр t,получим уравнение: y = x ². Траекторией по определению будет только часть этой параболы: | x | ≤ 1 (рис. 2.10).

2). Определяем положение точки на траектории в указанные моменты времени:

x (t ₁) = x (0) = 0, y (t ₁) = y (0) = 0;

x (t ₂) = x (π/2) = sin(π/2) = 1, y (t ₂) = y (π/2) = sin²(π/2) = 1;

_

x (t ₃) = x (5π/4) = sin(5π/4) = – Ö2/2, y (t ₃) = y (5π/4) = sin²(5π/4) = 1/2

и отмечаем их на траектории: M ₁ = M (t ₁), M ₂ = M (t ₂) и M ₃ = M (t ₃), при этом M ₁ совпадает с началом координат – центром О.

3). Определяем проекции скорости точки, дифференцируя уравнения (а):

, (б)

вычисляем их значения для указанных моментов времени:

;

;

и строим векторы скоростей v (t ₁) и v (t ₃), отмечая при этом, что v (t ₂) = 0.

3). Находим проекции вектора ускорения, дифференцируя уравнения (б):

, (в)

вычисляем их значения для указанных моментов времени:

;

;

и строим векторы ускорений a (t ₁), a (t ₂) и a (t ₃).

Отметим, что в точке M ₁ вектор a (t ₁) = a_n (t ₁), то есть он перпендикулярен вектору скорости v (t ₁) и совпадает с нормальной составляющей ускорения, в то время как a _τ(t ₁) = 0. При этом скорость движущейся точки достигает максимального значения.

В точке M ₂ наоборот – максимального значения достигает ускорение точки, вектор которого a (t ₂) совпадает с касательной составляющей ускорения, поскольку a_n (t ₂) = 0. При этом на участке M ₁ M ₂, то есть в течение интервала времени от t ₁ до t ₂, точка движется замедленно. Затем от t ₂ = π/2 до t = π точка будет двигаться ускоренно.

Аналогично происходит и на участке M ₁ M ₄, где точка также движется замедленно в течение интервала времени (π,3π/2). При этом в точке M ₃ отличны от нуля как касательное, так и нормальное ускорения.

Ответ. Траектория точки – часть параболы: y = x ², | x | ≤ 1, точка совершает периодическое колебательное движение относительно положения равновесия, совпадающего с началом координат.

Векторы скоростей и ускорений точки в указанные моменты времени равны:

v (t ₁) = (1,0); v (t ₂) = (0,0); v (t ₃) = (,1);

a (t ₁) = (0,2); a (t ₂) = (–1,–2); a (t ₃) = (,0).

Дата добавления: 2015-07-07