Решение. Абсолютное движение муфты D представим в виде суммы относительного движения по

Абсолютное движение муфты D представим в виде суммы относительного движения по направляющему стержню ОА и переносного движения вместе с этим стержнем. Траекторией относительного движения является прямая, переносного движения – окружность с центром в точке О. Абсолютная скорость вычисляется по теореме сложения скоростей, абсолютное ускорение – по теореме Кориолиса.

Неизвестные абсолютные скорость и ускорение выражаются через соответствующие величины полюса В

1. Аналитическое решение

1. Выбираем систему координат и определяем координаты всех шарниров механизма и муфты. Помещаем начало координат в т. С (рис. 36) и вычисляем координаты (в см):

Координаты т. В найдем из системы уравнений:

(х_B – х_A)² + (y_B – y_A)² = AB ²;

(х_B – х_C)² + (y_B – y_C)² = BC ².

Система имеет два решения (задача о точках пересечения двух окружностей с радиусами АВ и ВС). Выбираем то решение, у которого yB > 0: хВ = –20,3 см, уВ = 37,91 см.

2. Мысленно снимаем муфту с механизма (рис. 37) и находим скорости шарниров и угловые скорости звеньев получившегося механизма. Записываем уравнения трех угловых скоростей четырехзвенника ОABC:

(y_O – y_A) ω_OA + (y_A – y_B) ω_AB +(y_B – y_C) ω_BC = 0;

(х_O – х_A) ω_OA + (х_A – х_B) ω_AB +(х_B – х_C) ω_BC = 0.

При ω_OAz = 3 рад/с,

9,63· ω_AB – 37,91· ω_ВС = –3·28,28;

–110,58· ω_AB – 20,3· ω_ВС = –3·28,28.

Получим решение: ω_AB = 1,24 с^–1, ω_BC = 2,55 с^–1.

3. Предположим, что вектор относительной скорости направлен от точки А к В. Запишем формулу Эйлера для скорости в виде

Рис. 37

Компоненты скорости имеют следующие значения:

V_Bx = – ω_BC ·(y_B – y_C) = –96,75 м/с;

V_By = ω_BC ·(x_B – x_C) = –51,8 м/с;

V_x = – ω_OA ·(y_D – y_O) = –42,42 м/с;

V_y = ω_OA ·(x_D – x_O) = 42,42 м/с;

V_DBx = – ω_BD ·(y_D – y_B) = 23,77· ω_BD;

V_DBy = ω_BD ·(x_D – x_B) = 96,44· ω_BD.

4. Абсолютная скорость V выражается через известную скорость шарнира В. Составляем векторное уравнение

. (2)

Это уравнение содержит две неизвестные величины. Одна из них – искомый модуль вектора относительной скорости V_r.

Направление этого вектора известно и задается направлением стержня ОА, по которому скользит муфта. Вторая неизвестная – угловая скорость ω_BD. В результате уравнение (2) принимает вид

– ω_BC ·(y_B – y_C) – ω_BD ·(y_D – y_B) = – V_r cos45° – ω_OA ·(y_D – y_O);

ω_BC ·(x_B – x_C) + ω_BD ·(x_D – x_B) = – V_r sin45° + ω_OA ·(x_D – x_O).

Подставив численные значения, запишем систему уравнений для V_r и ω_BD:

где – проекция относительной скорости муфты на ось, направленную от О к А. Находим решение системы: = 58,36 см/с; ω_BD = 0,55 рад/с.

Таким образом, в указанный момент муфта движется по стержню ОА вверх со скоростью V_r = | | = 58,36 см/с.

5. Расчет ускорений четырехзвенника ОАВС. При ε_ОА = 0 запишем уравнения трех угловых ускорений

–110,58· ε_ВА + 20,3· ε_ВС = 22,33;

9,63· ε_ВА – 37,91· ε_ВС = –217,89.

Решение этой системы: ε_ВА = 0,9 с^–2;· ε_ВС = 5,98 с^–2.

6. Определение a_r:

Проекции ускорений на ось х:

Аналогично получаются проекции на ось y. В итоге

Подставив численные значения, запишем систему уравнений для а_r и ε_BD:

0,71· а_r + 23,77· ε_BD = 234,7;

0,71· а_r + 96,44· ε_BD = –13,87.

Решение системы: а_r = 463,77 см/с²;· ε_BD = –3,54 с^–2.

2. Графическое решение

1. Расчет скоростей построением плана скоростей.

Построим в масштабе механизм и определим длину стержня BD = 99 см.

Построим вектор скорости т. А. Величина скорости

V_A = OA · ω_OA = 12 см/с.

Направление вектора – перпендикулярно радиусу OA (рис. 37) против часовой стрелки (т. к. ω_OA > 0). Откладываем этот вектор от произвольной точки о (рис. 38). Конец вектора обозначаем буквой а. Через точку о проводим прямую, параллельную направлению вектора скорости шарнира В, перпендикулярно радиусу СВ его траектории вокруг С. На этой прямой должна лежать точка b – конец вектора . По основному свойству плана скоростей . Через точку а, перпендикулярно АВ, проводим вторую прямую. Пересечение проведенных прямых дает искомую тоску b и, следовательно, длину вектора V_В = 109,7 см/с (измеряем в масштабе) и угловую скорость звена АВ – ω_AВ ·= аb / AВ = 1,24 см/с.

Т. к. OD = OA /2 = 20 см, то скорость точки D, той точки звена ОА, которая совпадает в данный момент с положением муфты, переносная скорость V_r = V_D = 60 см/с. Вектор направлен перпендикулярно звену ОА (рис. 39).

2. Определим .

От точки О ₁ отложим вектор , известный по величине и направлению. От его конца отложим , известный по направлению (вдоль ОА, рис. 39).

Проведем через конец прямую, параллельную ОА. От точки О ₁ проведем вектор V_В, а через его конец прямую, перпендикулярную ВD (на ней лежит неизвестный вектор ). Точка О ₂ пересечения двух построенных прямых определяет вектор абсолютной скорости и вектора V_r = 58,4 см/с и V_DВ = 54,4 см/с (измеряем в масштабе).

Определим угловую скорость

ω_DB ·= v_DB / DB = 0,55 рад/с.

3. Расчет ускорений четырехзвенника ОАВС.

Ускорение точки А, лежащей на стержне ОА, совершающем вращательное движение с постоянной угловой скоростью 3 рад/с, определим аналитически: = 360 см/с².

Ускорение точки В определим из векторного уравнения (рис. 40)

решение которого найдем графически.

Рис. 38 Рис. 39

Вычислим модули векторов = 280 см/с²;

= 29,8 см/с².

Рис. 40. Направления векторов ускорения

Строим план ускорений от точки О ₁ (рис. 41). Откладываем известные вектора и . К концу последнего проводим перпендикуляр – на нем должен лежать вектор .

Рис. 41. План ускорений

Откладываем и перпендикуляр к нему . Пересечение двух перпендикуляров дает точку О ₂ – конец искомого вектора .

Измерим длины построенных векторов. Получим: = 380 см/с², = 257 см/с². Переносное ускорение муфты (точки D) определим по формуле:

= 180 см/с².

Определим (рис. 43). Направления всех векторов изобразим на чертеже механизма (рис. 42).

Направление вектора ускорения Кориолиса получается поворотом по часовой стрелке (ω_e = ω_OA > 0) вектора относительной скорости V_r. Т. к. вектор переносной угловой скорости перпендикулярен плоскости чертежа, а, следовательно, относительной скорости, то

= 350,2 см/c².

Зная ω_DB, найдем = 29,9 см/с².

Точка О ₂ пересечения направлений и определяет абсолютное ускорение и искомое . Измеряя длину вектора на чертеже приближенно получим а_r = 464 см/с².

Рис. 42

Рис. 43. Определение

Рис. 44

Рис. 45

Рис. 46

Рис. 47

Список литературы

1. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. – М., Ч.1: 1984. – 512 с.

2. Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики: Учебное пособие. Т. 1, 2. М.: Наука, 1997.

3. Кирсанов М. Н. Решебник. Теоретическая механика / Под ред. А. И. Кириллова. – М.: Физматлит, 2008. – 384 с.

4. Маркеев А. П. Теоретическая механика: Учебное пособие. – М.: Наука, 2001.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, 1986. – 448 с.

6. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике / Под общей редакцией проф. А. А. Яблонского. – М., Высшая школа, 1985. – 367 с.

7. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / Под ред. К. С. Колесникова. – М.: Наука, 1989.

8. Каримов И. Теоретическая механика. Электронный учебный курс для студентов очной и заочной форм обучения [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://teoretmeh.ru.

* Задание повышенной сложности.

* Векторная величина

* Задание повышенной сложности.

Дата добавления: 2015-07-07