Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Введем два вида гауссовских преобразований линейных систем

Преобразование 1 вида. В системе к одному из уравнений прибавляется другое уравнение системы, умноженное на какое-либо действительное число.

Преобразование II вида. В системе одно из уравнений умножается на какое-нибудь число, отличное от нуля.

Утверждение. Преобразование 1 (2) вида приводит исходную систему линейных уравнений в равносильную ей систему.

Для решения системы выпишем таблицу.

Будем применять к ней преобразования:

1. 1 и 2 вида к строкам

2. Вычеркивать 0 строки

3. Менять местами строки (столбцы)

С помощью них изменяем таблицу так, чтобы она стала треугольной (единственное решение) или трапециевидной (система неопределенна и имеет бесконечное мн-во решений).

В общем решении содержится бесконечное мн-во решений. Задавая значения свободной переменной (-ным) получаем частные решения (получая базисные)

17. Какие неизвестные и в каком случае называются базисными, какие свободными. Что такое общее и частное решения неопределенной системы?

Перепишем систему, оставив слева только r слагаемых в каждом уравнении:

x₁ , x₂, …, x_r называют базисными переменными,

x_r+1, …, x_n называют свободными переменными.

Если выразить базисные переменные в общем виде через свободные, то получим общее решение системы. Если в этом общем решении придавать свободным переменным конкретные числовые значения, то получим частное решение системы.

18. Какие особенности однородных систем линейных уравнений Вы знаете? Как строится фундаментальная система решений?

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = 0;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = 0;

…………………………………

а_n1х₁ + а_n2х₂ + …+ а_nnх_n = 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений имеет нулевое решение:

х₁ = 0, х₂ = 0,..., х_п = 0.

---

Дата добавления: 2015-10-16