Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то φ=0 и tgφ=0 и , откуда k₂=k₁. Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, то φ=π/2, α₂=π/2+α₁. . Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Для нахождения общих точек прямых и необходимо решить систему уравнений

или

При этом:

если , то имеется единственная точка пересечения прямых;

если - прямые и не имеют общей точки, т.е. параллельны;

если - прямые имеют бесконечное множество общих точек, т.е. совпадают.

5. Выведите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой. Как определить расстояние между параллельными прямыми?

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Расстояние определяется по формуле

6. Какая линия на плоскости называется окружностью? Запишите каноническое уравнение и поясните схему построения окружности.

Определение: Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема: Окружность радиуса R с центром в точке M₀(x ₀; y ₀) имеет уравнение (x – x ₀)² + (y – y ₀)² = R ² (*)

Доказательство. Пусть M (x; y) – текущая точка окружности. По определению окружности расстояние MM ₀ равно R (рис.)

Рис. Окружность

По формуле вычисления длины отрезка на плоскости получаем, что точки окружности, и только они удовлетворяют уравнению .

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное искомое уравнение (x – x ₀)² + (y – y ₀)² = R ².

Если в уравнении (*) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (*). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным x и y.

---

Дата добавления: 2015-10-16