Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Что такое матрица, отличие матрицы от определителей. Перечислите и приведите примеры различных видов матриц.

Читайте также:
  1. I. Что такое нация?
  2. II. ШЕСТЬ ВИДОВ ЙОГИ
  3. IX.1. Что такое наука?
  4. Quot;И приведите откормленного теленка, и заколите; станем есть и веселиться!" (Лк. 15:23).
  5. А, так мормоны — единственные, кто дает на правильное дерево. Власти и всё такое.
  6. А.3 Испытания различных участков сварного соединения на ударный изгиб
  7. Автомобиль. Насколько трудно было бы для него объяснить, что такое автомобиль, если он прежде

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n – ее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

или

Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a ij ||, а иногда с разъяснением: А = || a ij || = (a ij ), где (i = 1, 2,..., т, j=1, 2,..., n).

Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца. В случае квадратной матрицы

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а11 а12 ann идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ аn1 а(n-1)2 a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Отличие матриц от определителей: матрица – это таблица, определитель – это число.

Определители существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей.

Виды матриц

Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Матрица размера m ×1 называется матрицей-столбцом.

.

Матрица размера n ×1 называется матрицей-строкой.

.

Определение 1. Элементы матрицы, имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы.

Определение 2. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны нулю.

Определение 3. Диагональная матрица n -го порядка, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей n -го порядка и обозначается Е.

Определение 4. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над (под) главной диагональю равны нулю.

5. Как осуществляются линейные операции над матрицами?

Сложение матриц: Суммой двух матриц, например: A и B, имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = (Сij)(i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) тех же порядков m и n, элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением.

Итак, по определению имеем:

+ =

Из определения суммы матриц непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: A + B = B + A

2) сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число:

Произведением матрицы A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) на вещественное число называется матрица C = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), элементы которой равны

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) распределительным свойством относительно суммы матриц: (A + B) = A + B

2) сочетательным свойством относительно числового множителя: ( )A = ( A)

3) распределительным свойством относительно суммы чисел: ( + ) A = A + A.

Замечание: Разностью двух матриц A иB одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.

6. Как перемножить две матрицы? Сформулируйте правило умножения матрицы на матрицу. Свойства произведения матриц.

Произведением матрицы A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), имеющей порядки соответственно равные m и n, на матрицу B = (Bij) (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, p), имеющую порядки соответственно равные n и p, называется матрица C = (Сij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p), имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы Cij, определяемые формулой:

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p))

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись C = AB. Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, чтоматрицу A можно умножить не на всякую матрицу B: необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B. Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула представляет собой правило составления элементов матрицы C, являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент Cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C = AB, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

· =

Из формулы вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B:

1) сочетательное свойство :(AB) C = A (BC);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство: (A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить

A = , B = , то AB = , а BA =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято называть коммутативным.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n-ого порядка и обозначается символом E. Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n-ого порядка и обозначается символом O. Допустим, что существует произвольная матрица A, тогда

AE = EA = A, AO = OA = O.

7. Изложите схему нахождения обратной матрицы. Любая ли матрица имеет обратную? Что такое вырожденная матрица?

Рассмотрим квадратную матрицу

А =

Обозначим Δ = det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение АВ = ВА = Е, где Е ‑ единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А -1, так что В = А -1. Обратная матрица вычисляется по формуле

А -1 = 1/Δ ,

где А ij - алгебраические дополнения элементов a ij.

Вычисление обратной матрицы по формуле приведенной выше, для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.


Дата добавления: 2015-10-16; просмотров: 607 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Линейная алгебра | Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений. | Таким образом, однородная система линейных уравнений всегда совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. | Дать понятие орта вектора. Направляющие косинусы вектора. | Запишите различные виды уравнений прямой на плоскости и укажите геометрический смысл параметров уравнений. | Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых | Дайте определение эллипса Запишите каноническое уравнение и поясните схему построения эллипса. | Изложите схему приведения общего уравнения кривой к каноническому виду. | Плоскость, ее общее уравнение. | Изложите схему приведения общего уравнения прямой в пространстве к каноническому виду. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Дайте определение минора и алгебраического дополнения элемента определителя. Сформулируйте основное правило вычисления определителей.| Расскажите об основных типах матричных уравнений и схемах их решения.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)