Метод множителей Лагранжа в задаче условной оптимизации с ограничениями типа равенств.

Постановка задач. Метод исключения. Задача условной минимизации с ограничениями типа равенств имеет вид , (1)

где , – -вектор, .

Опр. 1. Точка называется точкой условного глобального минимума задачи (1), если .

Опр. 2. Точка называется точкой условного локального минимума задачи (1), если .

Метод исключения – простейший метод решения задачи (1). Используется, когда и вид функций достаточно простой.

В этих случаях из ограничений можно выразить неизвестных. Пусть это будут первые компоненты вектора , т.е. . Тогда имеем

(2)

Подставляя в целевую функцию, получаем

. (3)

Т. о, задача условной минимизации с ограничениями типа равенств (1) сводится к задаче безусловной минимизации. Решить ее можно классическим методом. Найдем . Обобщенное правило множителей Лагранжа. По параметрам задачи (1) построим обобщенную функцию Лагранжа , где – скаляр, - обобщенный вектор множителей Лагранжа, -вектор множителей Лагранжа, - множители Лагранжа.

Теорема 1. (Обобщенное правило множителей Лагранжа) Если ­– точка условного локального минимума в задаче (1), то существует ненулевой обобщенный вектор множителей Лагранжа , что выполняется условие (4), т.е, если – точка локального минимума (1), то она является стационарной точкой для обобщенной функции Лагранжа.

Теорема 2 (о неявной функции). Пусть . Функция определена, непрерывна и дифференцируема в окрестности точки , причем 1) , 2) ,

тогда существует такая функция в -окрестности точки , что выполняются условия 1) ,

2) ,

3) если функция , то и функция .

Рассмотрим систему

относительно переменных . Приведем ее к виду ,т.е. .

В качестве точки возьмем точку . Тогда для системы выполняется условие теоремы о неявной функции: 1) , 2) , так как по нашему предположению векторы (5) линейно независимы.

Тогда по теореме о неявной функции определена ф-я в окрестности точки . Пусть . Тогда . Значит, , что противоречит локальной оптимальности. Сл-но, векторы (5) не могут быть линейно независимыми, т.е. выполняется соотношение (4). Ч.т.д.

Классическое правило множителей Лагранжа. Классическаяфункция Лагранжазадачи (1) имеет вид , которая получается из обобщенной при .

Опр. 3. Задача (1) называется нормальной и точка локального минимума называется нормальной точкойлокального минимума, если среди всех обобщенных векторов множителей Лагранжа соотв. точке не существует таких, что .

Ясно, что если задача нормальная, то вместо обобщенной ф-ии Лагранжа можно рассматривать классическую, т.к. в нормальной задаче можно считать , и, разделив обобщенную функцию Лагранжа на , получим классическую функцию Лагранжа с .

Лемма. Нормальной точке локального минимума соответствует единственный вектор множителей Лагранжа .

Опр. 4. Точку локального минимума называют обыкновенной, если в этой точке линейно независимы векторы .

Теорема 3. Точка локального минимума обыкновенная тогда и только тогда, когда она нормальная.

Теорема 4. (Классическое правило множителей Лагранжа) Если – обыкновенная точка локального минимума в задаче (1), то существует единственный вектор множителей Лагранжа , что выполняется условие (с классической ф-ей Лагранжа) , .

Необходимое условие локальной оптимальности второго порядка. Предположим .

Опр. 5. Вектор (размерности ) называется направлением, допустимым по ограничению в точке , если .

Опр. 6. Вектор называется направлением, допустимым по ограничениям в точке , если он является допустимым по каждому -тому ограничению в точке .

Теорема 5. (необходимое условие оптимальности второго порядка) Если – обыкновенная точка локального минимума в задаче (1), то сущ-ет такой вектор множителей Лагранжа , что на гиперплоскости, опред. ур-ми квадратичная форма .

Достаточное условие локальной оптимальности. Пусть .

Опр. 7. Точку называют условно стационарной, если на паре выполняется .

Теорема 6. (Достаточное условие локальной оптимальности) Условно стационарная точка является точкой локального минимума в задаче (1), если сущ-ет такое , что на гиперплоскости, заданной ур-ми квадр. форма .

Дата добавления: 2015-08-13