Решение основной задачи вариационного исчисления.

Примеры задач вариационного исчисления:

1) Задача о брахистохроне (о кратчайшем времени).В вертикальной плоскости заданы две точки . Из точки A в точку B под действием только силы тяжести движется шарик массой m. Требуется найти такую гладкую кривую, что шарик, двигаясь по этой кривой, пройдет путь от точки A до точки B за минимальное время (рис.1).

Математическая постановка задачи о брахистохроне

, .

Основная задача вариационного исчисления есть обобщение задачи о брахистохроне.

Опр. 1. Гладкую кривую , удовлетворяющую условиям (1), называют допустимой кривой (рис. 2).

Рассмотрим функцию дважды непрерывно дифференцируемую по совокупности своих аргументов. Рассмотрим функционал

. (2)

Тогда основная задача вариационного исчисления (ОЗВИ) состоит в минимизации функционала (2) вдоль допустимых кривых, т.е. (2) с (1) с указанием класса гладкости составляет математическую постановку основной задачи вариационного исчисления.

Опр.2. Допустимую кривую называют сильной минималью, если существует такое число , что для любых , удовлетворяющих неравенству , выполняется соотношение .

Опр3. Допустимую кривую называют слабой минималью, если существует такое число , что для любых , удовлетворяющих неравенствам и выполняется соотношение .

Опр4. Допустимую кривую называют глобальной минималью, если для любых выполняется соотношение .

Необходимые условия оптимальности для слабой минимали будут необходимыми условиями для абсолютной и сильной минимали.

Пусть – допустимая кривая.

Опр 5. Кривую называют допустимой вариацией кривой , если кривая , такая что , является допустимой кривой.

Вариацию кривой удобно выбирать в виде , где число, – функция, заданная для . Функцию , так же как и , называют вариацией кривой . Функция – допустимая вариация, если и .

Теорема 1. Для любой слабой минимали с любой вариацией выполняются условия: 1) стационарности ; 2) неотрицательности .

Уравнение Эйлера. Докажем сначала основную лемму вариационного исчисления – лемму Лагранжа.

Лемма Лагранжа. Пусть для непрерывной на функции и допустимой вариации . Тогда функция для любого .

Теорема 2. Каждая слабая минималь ОЗВИ удовлетворяет дифф. ур-ию Эйлера: .

Опр6. Любую допустимую кривую , удовлетворяющую уравнению Эйлера, называют экстремалью.

Опр7. Будем говорить, что на экстремали выполняется условие Лежандра, если и усиленное условие Лежандра, если (для минимали).

Рассмотрим в качестве функционала первую вариацию функционала из ОЗВИ:

.

Выпишем для этого функционала уравнение Эйлера , т.е.

Введем обозначения , тогда или

.

Вычислим интеграл от второго слагаемого, в результате получим

.

Отсюда дифференциальное уравнение Эйлера для функционала имеет вид

– (4)

уравнение Якоби относительно вариации . Выражения от не зависят, поэтому полученное уравнение линейное относительно .

Пусть и является экстремалью.

Опр8. Точка называется сопряженной точке , если среди нетривиальных решений уравнения Якоби существует такое решение, что .

Опр9. Будем говорить, что на экстремали выполняется условие Якоби, если на интервале нет точек , сопряженных точке .

Опр10. Будем говорить, что на экстремали выполняется усиленное условие Якоби, если на полуинтервале нет точек , сопряженных точке .

Опр11. Если функция выпукла по в области задания, то она называется квазирегулярной.

Теорема 2. (достаточное условие сильного минимума) Пусть функция и квазирегулярна в области задания. Тогда, если допустимая экстремаль, на которой выполняются усиленное условие Лежандра и усиленное условие Якоби, то доставляет сильный локальный минимум в ОЗВИ.

Дата добавления: 2015-08-13