Читайте также:
|
|
Примеры задач вариационного исчисления:
1) Задача о брахистохроне (о кратчайшем времени).В вертикальной плоскости заданы две точки
. Из точки A в точку B под действием только силы тяжести движется шарик массой m. Требуется найти такую гладкую кривую, что шарик, двигаясь по этой кривой, пройдет путь от точки A до точки B за минимальное время (рис.1).
Математическая постановка задачи о брахистохроне
,
.
Основная задача вариационного исчисления есть обобщение задачи о брахистохроне.
Опр. 1. Гладкую кривую , удовлетворяющую условиям
(1), называют допустимой кривой (рис. 2).
Рассмотрим функцию
дважды непрерывно дифференцируемую по совокупности своих аргументов. Рассмотрим функционал
. (2)
Тогда основная задача вариационного исчисления (ОЗВИ) состоит в минимизации функционала (2) вдоль допустимых кривых, т.е. (2) с (1) с указанием класса гладкости составляет математическую постановку основной задачи вариационного исчисления.
Опр.2. Допустимую кривую называют сильной минималью, если существует такое число
, что для любых
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется соотношение
.
Опр3. Допустимую кривую называют слабой минималью, если существует такое число
, что для любых
, удовлетворяющих неравенствам
и
выполняется соотношение
.
Опр4. Допустимую кривую называют глобальной минималью, если для любых
выполняется соотношение
.
Необходимые условия оптимальности для слабой минимали будут необходимыми условиями для абсолютной и сильной минимали.
Пусть – допустимая кривая.
Опр 5. Кривую называют допустимой вариацией кривой
, если кривая
, такая что
, является допустимой кривой.
Вариацию кривой удобно выбирать в виде
, где
число,
– функция, заданная для
. Функцию
, так же как и
, называют вариацией кривой
. Функция
– допустимая вариация, если
и
.
Теорема 1. Для любой слабой минимали с любой вариацией
выполняются условия: 1) стационарности
; 2) неотрицательности
.
Уравнение Эйлера. Докажем сначала основную лемму вариационного исчисления – лемму Лагранжа.
Лемма Лагранжа. Пусть для непрерывной на
функции
и допустимой вариации
. Тогда функция
для любого
.
Теорема 2. Каждая слабая минималь ОЗВИ удовлетворяет дифф. ур-ию Эйлера:
.
Опр6. Любую допустимую кривую , удовлетворяющую уравнению Эйлера, называют экстремалью.
Опр7. Будем говорить, что на экстремали выполняется условие Лежандра, если
и усиленное условие Лежандра, если
(для минимали).
Рассмотрим в качестве функционала первую вариацию функционала из ОЗВИ:
.
Выпишем для этого функционала уравнение Эйлера , т.е.
Введем обозначения
, тогда
или
.
Вычислим интеграл от второго слагаемого, в результате получим
.
Отсюда дифференциальное уравнение Эйлера для функционала имеет вид
– (4)
уравнение Якоби относительно вариации . Выражения
от
не зависят, поэтому полученное уравнение линейное относительно
.
Пусть и
является экстремалью.
Опр8. Точка называется сопряженной точке
, если среди нетривиальных решений уравнения Якоби
существует такое решение, что
.
Опр9. Будем говорить, что на экстремали выполняется условие Якоби, если на интервале
нет точек
, сопряженных точке
.
Опр10. Будем говорить, что на экстремали выполняется усиленное условие Якоби, если на полуинтервале
нет точек
, сопряженных точке
.
Опр11. Если функция выпукла по
в области задания, то она называется квазирегулярной.
Теорема 2. (достаточное условие сильного минимума) Пусть функция и квазирегулярна в области задания. Тогда, если
допустимая экстремаль, на которой выполняются усиленное условие Лежандра и усиленное условие Якоби, то
доставляет сильный локальный минимум в ОЗВИ.
Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 119 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Метод множителей Лагранжа в задаче условной оптимизации с ограничениями типа равенств. | | | О П. И. Чайковском из рассказа «Скрипучие половицы» (Паустовский). |