Методы Рунге-Кутта

Рассмотрим задочу Коши (1), (2). Зодадим сетку (3).

Методы Рунге-Кутта опред. 3 наборами параметров

(8)

Алгоритм задается так:

1)полагаем

2) вычисляем функции

,

,

...............................................................,

3) вычисляем

4) вычисляем

Рассмотрим схему построения методов Рунге – Кутта в случае . В этом случае метод явл. 2 порядка точности, при исп. 4 параметра: .

Расчетная ф-ла примет вид

(9).

Обозначим через интегральную кривую уравнения (1), проход через точку , удовлетворяющую условию . Подставляя ее в (8) получим (10)

разложим левую и правую части равенства (10) по степеням . Для левой части будем иметь:

где .

Правую часть рассмотрим как сложную ф-цию переменной и произведем разложение в нуле. Будем иметь

Разложение в левых и правых частях слагаемые совпадают

.

Т.о. для определения 4 параметров метода получаем

Задавая произвол образом легко найдем остальные парам-ы т.о. при получим бесконеч. методов Рунге-Кутта 2-го порядка точн-и.

Дата добавления: 2015-08-13