Розрив функції. Класифікація точок розриву

Означення. Якщо при деякому не виконується хоча би одна із умов означення 1 неперервної функції, то кажуть, що функція в цій точці має розрив, а точка

називається точкою розриву функції.

Означення. Я кщо функція не визначена в точці (рис.6,а) або визначена, але має місце співвідношення (рис.6,б), то розрив в точці називається усувним.

В цьому випадку функцію можна довизначити або змінити її значення в точці так, щоб виконувалась рівність

.

Означення. Якщо функція в точці має скінчені однобічні границі, але вони не рівні між собою, тобто то кажуть, що функція має в точці неусувний. розрив першого роду, а різницю називають стрибком функції.

Означення. Якщо хоча би одна з однобічних границь не існує (рис.7,а), або дорівнює нескінченності (рис.7,б), то кажуть, що в точці функція має неусувний розрив другого роду.

Рис. 7

9.13.3. Властивості неперервних функцій

Теорема. (Вейерштрасса) Якщо функція у=f(x) неперервна на відрізку [a,b], то вона обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі числа m та М, що для всіх (Рис. 8).

Рис. 8

Теорема. (Больцано-Коші). Якщо функція неперервна на відрізку [a,b] і значення її на кінцях відрізка f(a) і f(b) мають протилежні знаки, то всередині відрізка існує точка , така що f(c)=0 (Рис. 9).

Рис. 9

Теорема. Якщо функції f(x)і g(x) неперервні на деякому інтервалі, то неперервні на тому ж інтервал і.

Теорема. Усі основні елементарні функції неперервні в області їх визначення.

Запитання і завдання для самоперевірки

1. Що називається числовою послідовністю і як її можна задати? Навести приклади.

2. Що називається границею числової послідовності?

3. Сформулюйте основні положення про границі числових послідовностей.

4. Дайте означення зростаючої (спадної), неспадної (незростаючої) числової послідовності.

5. Сформулюйте основні теореми про границі числових послідовностей.

6. Границею якої числової послідовності є число е?

7. Що називається границею функції на нескінченності?

8. Що називається границею функції в точці?

9. Що називається лівою (правою) границею функції в точці?

10. Яка величина називається нескінченно малою (великою)?

11. Який зв’язок між нескінченно малими і нескінченно великими величинами?

12. Сформулюйте порівняння двох нескінченно малих (великих величин).

13. Сформулюйте основні теореми про границі функції.

14. Як розкривається невизначеність відношення двох нескінченно малих у випадку наявності многочленів та ірраціональних виразів?

15. Як розкривається невизначеність у випадку відношення та різниці двох нескінченно великих величин?

16. Яка границя називається першою важливою границею?

17. Яка границя називається другою важливою границею? Назвіть різновиди цієї границі.

18. За якою формулою здійснюється неперервне нарахування відсотків?

19. Дайте означення неперервності функції в точці: а) через односторонні границі; б) через приріст аргументу і функції.

20. Який розрив називається: а) усувним; б) із стрибком? Наведіть приклади.

21. Який розрив називається розривом другого роду? Наведіть приклади.

22. Сформулюйте основні теореми про властивості неперервних функцій та дайте їх геометричну інтерпретацію.

Завдання для самостійної роботи

1. Користуючись означенням границі функції довести, що .

2. Користуючись теоремами про границі, обчислити:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) .

3. Знайти границі функцій, розкривши невизначеності типу :

1) , 2) , 3) .

4. Знайти границі функцій, позбувшись ірраціональності:

1) , 2) , 3) , 4) .

5. Знайти границі функцій, розкривши невизначеності типу :

1) , 2) , 3) , 4) .

6. Знайти границі функцій, розкривши невизначеності типу :

1) , 2) , 3) .

7. Знайти границі функцій, застосувавши першу важливу границю:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

8. Знайти границі функцій, застосувавши другу важливу границю:

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) .

9. Початкова сума, внесена в банк з умовою 10% річних, складала 2000 грн. Знайти величину внеску через 4 роки при нарахуванні відсотків: а) щорічно, б) щоквартально, в) неперервно.

10. Довести неперервність функцій в області їх визначення:

1) , 2) ; 3) ; 4) ;

11. Які із наведених нижче функцій є неперервними в точці ? У випадку розривності встановити характер розриву:

1) , 2) 3) , 4) .

12. Для наведених нижче функцій та двох значень аргументів треба:

а) встановити чи буде функція неперервною у заданих точках;

б) у випадку розриву функцій встановити характер розриву, знайшовши її однобічні границі;

в) зробити схематичний рисунок.

1) , ; 2) , ;

3) ; 4) , .

Дата добавления: 2015-08-09