Нерівність еквівалентна подвійній нерівності .

Границя функції в точці. Нехай функція задана в деякому околі точки x₀, крім, можливо, самої точки x_0.

Означення. Число b називається границею функції при x, що прямує x₀ (або в точці x₀), якщо для будь-якого (як завгодно малого), знайдеться таке додатне число , що для всіх х, таких, що виконується нерівність (рис. 3).

Записується так .

Розглянемо геометричну інтерпретацію границі функції в точці

Приклад 1. Довести, що .

Розв’язання. Згідно означення границі, маємо

.

З останньої нерівності випливає, що

.

Для того, щоб виконувалась остання нерівність достатньо взяти .

Приклад. Довести, що .

Розв’язання. Задамо довільне число і знайдемо число , таке, що для всіх і таких, що , виконується нерівність

. (3)

Щоб знайти таке , слід розв’язати останню нерівність відносно . На відміну від попереднього прикладу, де це вдалося зробити за допомогою тотожних перетворень, у даному прикладі потрібно застосувати прийом підсилення нерівності (3). Справді

. (4)

Підсилимо нерівність (3), замінивши множник на число, якого він не перевищує. Для цього на шукане накладемо обмеження . Це завжди можна зробити, оскільки залежить від , а число , можна задавати як завгодно малим.

Тоді , або . Додаючи до всіх трьох частин останньої нерівності число 4, дістанемо . Тому нерівність (4) підсилимо, якщо візьмемо .

Замінивши в нерівності (4) множник на число 5, будемо вимагати виконання нерівності

. (5)

Якщо виконується нерівність (5), то й поготів виконується нерівність (4) і рівносильна їй нерівність (3).

З нерівності (5) знаходимо, що

.

Отже, за можна взяти менше із двох чисел 1 і .

Таким чином, якщо і , то , для чого достатньо взяти .

Зауваження. Якщо функція має границю число b₁, лише при умові, що зліва, то використовується запис: , а число b₁ називається однобічною границею функції зліва.

Якщо функція має границю b₂ при справа, то використовується запис .

Для існування границі функції в точці х₀ необхідно і достатньо, щоб

.

Якщо в деякій точці х₀ лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній, то функція терпить розрив в цій точці.

Наприклад, функція в точці має різні односторонні границі: .

Дата добавления: 2015-08-09