|
Границя функції в точці. Нехай функція задана в деякому околі точки x0, крім, можливо, самої точки x0.
Означення. Число b називається границею функції при x, що прямує x0 (або в точці x0), якщо для будь-якого (як завгодно малого), знайдеться таке додатне число , що для всіх х, таких, що виконується нерівність (рис. 3).
Записується так .
Розглянемо геометричну інтерпретацію границі функції в точці
Приклад 1. Довести, що .
Розв’язання. Згідно означення границі, маємо
.
З останньої нерівності випливає, що
.
Для того, щоб виконувалась остання нерівність достатньо взяти .
Приклад. Довести, що .
Розв’язання. Задамо довільне число і знайдемо число , таке, що для всіх і таких, що , виконується нерівність
. (3)
Щоб знайти таке , слід розв’язати останню нерівність відносно . На відміну від попереднього прикладу, де це вдалося зробити за допомогою тотожних перетворень, у даному прикладі потрібно застосувати прийом підсилення нерівності (3). Справді
. (4)
Підсилимо нерівність (3), замінивши множник на число, якого він не перевищує. Для цього на шукане накладемо обмеження . Це завжди можна зробити, оскільки залежить від , а число , можна задавати як завгодно малим.
Тоді , або . Додаючи до всіх трьох частин останньої нерівності число 4, дістанемо . Тому нерівність (4) підсилимо, якщо візьмемо .
Замінивши в нерівності (4) множник на число 5, будемо вимагати виконання нерівності
. (5)
Якщо виконується нерівність (5), то й поготів виконується нерівність (4) і рівносильна їй нерівність (3).
З нерівності (5) знаходимо, що
.
Отже, за можна взяти менше із двох чисел 1 і .
Таким чином, якщо і , то , для чого достатньо взяти .
Зауваження. Якщо функція має границю число b1, лише при умові, що зліва, то використовується запис: , а число b1 називається однобічною границею функції зліва.
Якщо функція має границю b2 при справа, то використовується запис .
Для існування границі функції в точці х0 необхідно і достатньо, щоб
.
Якщо в деякій точці х0 лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній, то функція терпить розрив в цій точці.
Наприклад, функція в точці має різні односторонні границі: .
Дата добавления: 2015-08-09; просмотров: 246 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Границя функції на нескінченності і в точці | | | Розкриття деяких невизначеностей |