Розкриття деяких невизначеностей

Як бачимо з прикладу 4, у найпростіших випадках знаходження границі зводиться до підстановки у функцію граничного значення аргументу . Але часто така підстановка приводить до невизначених виразів. Це такого типу вирази:

1) відношення двох нескінченно малих величин – невизначеність вигляду ;

2) відношення двох нескінченно великих величин – невизначеність вигляду ;

3) різниця двох нескінченно великих величин – невизначеність вигляду та інші.

Операцію знаходження границі у цих випадках називають розкриттям невизначе­ності.

Розглянемо деякі окремі випадки.

1. Невизначеність вигляду , задана відношенням двох многочленів

Приклад. Знайти .

Розв’язання. Оскільки границя чисельника ,

границя знаменника

,

то застосувати теорему про границю частки не можна, оскільки границя знаменника дорівнює нулю, а отже маємо невизначеність . Щоб розкрити дану невизначеність, застосуємо загальний прийом; розкладемо чисельник і знаменник на множники, серед яких обов’язково буде множник (х -1):

, .

Підставивши, одержані розклади в границю дістанемо

.

Скорочення на (х -1) можливе, тому що при визначені границі значення (у даному прикладі ).

Множник через який чисельник і знаменний прямують до нуля, інколи нази­вають критичним множником.

Узагальненням даного випадку є відшукання границі дробово-раціональної функції , коли граничне значення аргументу є коренем чисельника і знаменника кратності k.

Виділивши у чисельнику і знаменнику множник , дістанемо

.

Оскільки многочлени і не мають спільних множників, то границя знаходиться підстановкою значення в одержаний вираз дробово-раціональної функції.

2. Невизначеність вигляду , задана ірраціональними виразами

Приклад. Знайти .

Розв’язання. При маємо невизначеність , отже – критичний множник. Позбудемося ірраціональності в чисельнику. Маємо

.

Дата добавления: 2015-08-09