Друга важлива границя

, . (6)

Доведення. Вище було показано, що , де – натуральне число.

Спочатку доведемо, що має місце рівність

. (7)

Нехай х дійсне число, ціла частина якого . Тоді або з чого випливає, що .

Враховуючи, що , дістанемо нерівності

. (8)

Знайдемо границі лівої і правої частини нерівності (8) при :

,

.

Оскільки з нерівності при випливає, що , а у нерівності (8) ліва і права частини при прямують до однієї і тієї самої границі, що дорівнює е, то за теоремою Гур’єва

.

Покажемо, що

. (9)

Для доведення введемо змінну . Оскільки при , то

де .

Об’єднавши випадки (7) і (8), дістанемо границю (6).

Поклавши і врахувавши, що при , дістанемо

. (10)

Одержана границя співпадає з точністю до позначення змінної із другою формулою (6).

Зауваження. При обчисленні границь, пов’язаних з числом, часто користуються таким твердженням:

Якщо існують границі , , причому , то існує також границя , яка обчислюється за формулою

. (11)

Приклад. Знайти .

Скориставшись формулою (6), дістанемо

.

Приклад. Знайти .

Скориставшись формулами (6) та (11), дістанемо

Дата добавления: 2015-08-09