Невизначеність вигляду , задана ірраціональними виразами

Приклад. Знайти .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Для розкриття невизначеності потрібно позбутись ірраціональності в чисельнику:

.

Дві важливі границі

Перша важлива границя

.

Доведення. Функція визначена в області . Оскільки має місце рівність , то функція парна, з чого випливає, що вона симетрична відносно осі ординат. Тому, якщо в точці існують однобічні границі, то вони рівні між собою, тобто:

Розглянемо границю цієї функції в точці справа і доведемо, що .

Побудуємо у першій чверті координатної площини коло одиничного радіуса (рис. 4) і візьмемо кут х , який дорівнює аргументу функції.

Тоді:

1) ;

2) ;

3) .

Порівнюючи площі трикутників ОАС, ОВС і колового сектора ОАС, дістанемо

,

звідки .

Розділивши останні нерівності на , дістанемо

або .

Оскільки , то згідно теореми “про два міліціонери”, маємо .

Приклад. Знайти , при .

Розв’язання. Зведемо розглядувану границю до першої важливої границі, помноживши та поділивши дріб на а та ввівши позначення :

.

Дата добавления: 2015-08-09