Двоичная система счисления

Тема 1: Системы счисления. Двоичная система счисления.

Двоичная арифметика

Основные понятия

Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Например для записи чисел 123, 45678, 1010011, CXL используются цифры 0, 1, 2, …, I, V, X, L, ….

Под алфавитом системы счисления понимают набор цифр системы счисления. Например, алфавит десятичной системы счисления - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская система.

Алфавит римской системы счисления: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille).

Правила записи чисел в римской системе счисления:
- обычно не ставят больше трех одинаковых цифр подряд;
- если младшая цифра стоит слева от старшей, она вычитается из суммы.

Например, число MDCXLIV в римской системе счисления имеет значение

MDC X L I V=1000+500+100-10+50-1+5=1644

Недостатками этой системы является наличие большого количества знаков, сложность выполнения арифметических операций, не возможность записать дробные числа.

В позиционных системах счисления значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Примером позиционной системы счисления является десятчная система счисления. Ее алфавит – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и о снование (количество цифр) - 10

Например, в числе 353,3 первая семерка означает 3 сотен, вторая — 3 единиц, а третья — 3 десятых долей единицы.

Число 353,3 можно записать в развернутой форме:

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:

N = a_n pⁿ+a_n-1p^n-1+... +a₁p¹+a₀ p⁰+a_-1p^-1+a_-2p^-2+...

здесь N - число, a_j - коэффициенты (цифры числа), p - основание системы счисления (p>1).

Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

N = a_na_n-1... a₁a₀. a_-1a_-2...

Например, число 11101,1 двоичной системы счисления:

11101,1₂=1 2⁴+1 2³+1 2²+0 2¹+1 2⁰+1 2^-1

Замечание. Нижний индекс числа обозначает основание системы счисления. У чисел десятичной системы счисления индекс не ставится.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления алфавит – {0, 1}, о снование - 2.

Любое число N в этой системе счисления может быть представлено в виде:

N = a_n 2ⁿ+a_n-1 2^n-1+... +a₁ 2¹+a₀ 2⁰+a_-1 2^-1+a_-2 2^-2+...

здесь N - число, a_j - коэффициенты (цифры 0 или 1).

Перевод двоичного числа в десятичную систему счисления.

Для перевода двоичного числа в десятичную систему счисления, достаточно записать число в развернутой форме, а за тем подсчитать значение выражения в десятичной системе счисления. Например, 11011,11

₂

Перевод целого числа десятичной системы счисления в двоичную.

Перевод целых десятичных чисел в двоичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание - 2. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего. Например,

Таким, образом 19=10011₂.

Перевод правильных дробей десятичной системы счисления в двоичную.

Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание системы 2. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого. Например,

Ответ: 0,375=0,011₂.

Замечание. Конечной десятичной дроби в двоичной системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности. Например,

0,7 =0, 101100110..=0,1(0110)₂

Пример 1. Перевести 131 из десятичной в двоичную систему счисления.

131=10000011₂.

Пример 2. Перевести число 110101,01₂ из двоичной в десятичную систему счисления.

Пример 3. Перевести число 3,875 из десятичной в двоичную систему счисления.

Представим число в виде суммы: 3,875=3+0,875. Переведем целую часть числа:

3=11₂

Переведем дробную часть числа:

0,875 =0,111₂

3,875=3+0,875=11₂+0,111₂=11,111₂

Дата добавления: 2015-08-09