Неперервність функції в точці і на відрізку

Означення. Функція , визначена в деякому околі точки , називається неперервною в цій точці, якщо:

1. існує при та в деякому околі цієї точки;

1) існує скінчена границя ;

2) незалежно від способу прямування до , тобто .

Виходячи з означення неперервності функції і границі числової послідовності, можемо записати

.

Означення. Якщо функція неперервна в кожній точці деякого інтервалу , то її називають неперервною в інтервалі .

Означення. Якщо функція визначена при і , то кажуть, що в точці неперервна справа.

Означення. Якщо функція визначена при і , то кажуть, що в точці неперервна зліва.

Означення. Я кщо функція неперервна в кожній точці інтервалу та неперервна на кінцях інтервалу, відповідно зліва і справа, то функція називається неперервною на відрізку .

Сформулюємо ще одне означення неперервності.

Нехай задано два значення аргументу і або і , або і . Приростом аргументу називається різниця вигляду

або , або .

При маємо , а при – .

Означення. Різницю значень функцій , яка викликана зміною аргументу, називають прирос­том функції і позначають (рис. 5), тобто

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

.

У дійсності остання рівність означає, що

або .

Приклад. Знайти інтервал неперервності функції .

Будемо користуватися означенням 6. Візьмемо довільну точку і позначимо через приріст аргументу х.

Тоді функція одержить приріст .

Знайдемо .

Отже, функція є неперервною на всій дійсній осі.

Дата добавления: 2015-08-09