Исследование устойчивости решений динамических систем с помощью функции Ляпунова.

, (1) – динамическая система.

Пусть выполняются условия теоремы Коши-Пикара, рассмотрим решение и запишем систему для возмущения: (3), где . Рассмотрим в области функцию . Она обладает свойствами: 1) непрерывности в ; 2) непрерывной дифференцируемости в ; 3) .

Функция - знакопостоянная в , если она не меняет знака в . Функция - положительно строго определенная в , если при и . Функция - знакоопределенная в , если она знакопостоянная в и выполняется одно из условий: а) ; б) , где - непрерывная положительно определенная функция.

Знакопостоянная функция может принимать нулевые значения при .

Полной производной от функции по времени в силу системы (3) называется выражение .

I теорема Ляпунова: если система (3) допускает существование дифференцируемой знакоопределенной функции , для которой полная производная есть функция знакопостоянная знака, противоположного с или тождественно равная 0, то нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову.

Функция имеет бесконечно малый высший предел, если она при в окрестности 0 удовлетворяет условиям: 1) если хотя бы одно конечно, то тоже конечна (); 2) мала, если все малы ().

II теорема Ляпунова: если система (3) допускает существование дифференцируемой знакоопределенной функции , имеющей бесконечно малый высший предел, для которой полная производная есть функция знакопостоянная знака, противоположного с , то нулевое решение является асимптотически устойчивым.

III теорема Ляпунова: если система (3) допускает существование дифференцируемой знакоопределенной функции , имеющей бесконечно малый высший предел, для которой полная производная есть функция знакопостоянная одного знака с , то нулевое решение является неустойчивым.

49. Общие методы интегрирования СДУ. Метод сведения нормальной системы n ДУ к ДУ n -го порядка. Метод исключений.

Метод сведения нормальной системы n ДУ к ДУ n -го порядка.

Пусть все имеют непрерывные частные производные до порядка включительно по всем аргументам. Последовательно дифференцируем одно уравнение системы и исключаем все ДУ, кроме одного. Если в него подставить решение, то оно обратится в тождество.

, , …, . Исключим . Это возможно, т.к.

или - уравнение n -го порядка. Пусть оно решено и найдено решение , тогда

Метод исключений.

Используя особенности системы пытаются исключить какие-то переменные.

, , т.е. . , , ,

Дата добавления: 2015-08-09