Критерий Михайлова

Для его применения необходимо иметь характеристический полином

. (1.8.3.1)

Подставим в (1) вместо , где ; – частота, которая меняется в диапазоне от 0 до ∞. В результате получим комплексный полином

, (1.8.3.2)

где – действительная часть, а – коэффициент при мнимой части.

, (1.8.3.3)

,

или

. (1.8.3.4)

Критерий Михайлова является графическим критерием. Для его применения на комплексной плоскости строится годограф (траектория конца вектора) Михайлова. На рис. 6 показаны годографы Михайлова для систем различных порядков n, соответствующие асимптотической устойчивости систем.

Для того чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ годограф Михайлова охватывал начало координат, проходя последовательно столько квадрантов против часовой стрелки, каков порядок системы (рисунок 6).

Если годограф Михайлова будет проходить через начало координат, то система будет находиться на границе устойчивости (рисунок 7).

Если годограф Михайлова не охватывает начало координат, то САУ будет неустойчивой (рисунок 8).

Из критерия Михайлова вытекает критерий Эрмита-Билера. Как следует из рисунка 6, при асимптотической устойчивости корни полиномов чередуются.

Рисунок 1.8.6 – Годографы Михайлова для устойчивых систем различных порядков

Рисунок 1.8.7

Рисунок 1.8.8

Критерий Эрмита-Билера. Для того чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы корни полиномов (3) и (4) были действительными положительными и чередовались между собой, начиная с корня для полинома (4).

Дата добавления: 2015-08-05