Устойчивость движения непрерывных линейных САУ

САУ описывается системой дифференциальных уравнений. Если в системе имеются только один вход и один выход, то систему можно преобразовать к одному дифференциальному уравнению того же порядка, что и вся система. Пусть это дифференциальное уравнение записано в операторном виде (1)

, (1.8.1)

где – выходной сигнал;

– входной сигнал;

– полиномы (многочлены) оператора дифференцирования .

Пусть

(1.8.2)

Уравнение (1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Его решение состоит из двух слагаемых: частного решения () и общего решения соответствующего однородного уравнения (), т.е.

.

В ТАУ общее решение называется собственным решением (движением), частное решение называется вынужденным решением (движением).

. (1.8.3)

Вынужденное решение удовлетворяет уравнению

. (1.8.4)

Вычитая (4) из (1), найдём уравнение собственных движений

. (1.8.5)

Уравнение (5) называется однородным уравнением для уравнения (1). Устойчивость или неустойчивость линейных САУ определяется только уравнением (5).

Будем различать 3 категории устойчивости:

1 – асимптотическая устойчивость,

2 – неустойчивость,

3 – граничная устойчивость.

Система называется асимптотически устойчивой, если при всех начальных условиях

или . (1.8.6)

Система называется неустойчивой, если имеется хотя бы одно сочетание начальных условий, при котором

. (1.8.7)

Система называется находящейся на границе устойчивости (гранично устойчивой), если имеется хотя бы одно сочетание начальных условий, при котором не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, а при других начальных условиях выполняется условие (6).

Рисунок 1.8.1 – Асимптотическая устойчивость

Рисунок 1.8.2 – Неустойчивость

Рисунок 1.8.3 – Граничная устойчивость

Дата добавления: 2015-08-05