Линеаризация нелинейных уравнений

На практике все системы управления нелинейные, однако в некоторых случаях нелинейности настолько малы, что их эффект незначителен, или при больших нелинейностях система работает на линейных участках.

Процесс замены нелинейных уравнений близкими к ним по динамическим свойствам линейными уравнениями называется линеаризацией.

Существует несколько приёмов линеаризации. В данном подразделе рассматривается линеаризация, в основе которой лежит разложение нелинейностей в ряд Тейлора. Ниже дается упрощенная процедура линеаризации.

Пусть дана функция

. (1.1.1)

Предполагается, что система работает в режиме стабилизации, т.е.

. (1.1.2)

В идеальном установившемся режиме

. (1.1.3)

В действительности имеют место отклонения от точки (2), т.е.

. (1.1.4)

Предполагается что на порядок меньше .

Подставим (4) в (1). Тогда

. (1.1.5)

Последним слагаемым в (5) вследствие малости можно пренебречь.

Вычтем из (5) (3). Получим

. (1.1.6)

Уравнение (6) линейно относительно новых переменных .

Геометрический смысл линеаризации представлен на рис 2.

Линеаризация путём разложения в ряд Тейлора представляет собой перенос начала координат из т. О в т. О₁ и переход от переменных к новым переменным . В этом случае нелинейная функция АВ заменяется на касательную, проведенную в точке О₁.

Рисунок 1.1.2 – Геометрический смысл линеаризации

Дата добавления: 2015-08-05