Алгоритм формирования уравнений электрических схем

Электрическая цепь, содержащая кусочно-линейные элементы, рассматривается как цепь с переменной структурой и с переменными параметрами. Каждой комбинации состояний кусочно-линейных элементов соответствует определенная эквивалентная (частная) электрическая схема замещения. Для получения расчетной системы уравнений цени с переменной структурой необходимо иметь описание структуры полной (исходной) цепи и структуры эквивалентной (частной) цепи. Такое описание можно получить, упорядочивая после каждого переключения вентилей фундаментальную матрицу контуров полной цепи в соответствии с установленным приоритетом ветвей. После каждого переключения производится формирование структурной матрицы и расчетной системы уравнений заново. Возможны разные варианты организации процедур формирования и счета. Важное значение приобретает экономичность процедуры счета, поскольку она выполняется на каждом шаге счета. Поэтому, большинство вычислительных операций должно выполнятся на стадии формирования уравнений. Одним из возможных вариантов является формирование системы адгебро-дифференциальных уравнений в общей канонической форме:

(3.14)

Матрицы коэффициентов А, В, С, D формируются после каждого переключения.

Вычисление производных переменных состояния()и алгебраических переменных(y) производится умножением этих матриц на вектор переменных состояния и вектор возбуждающих источников v.

Исходными данными при формировании расчетной системы уравнений методом переменных состояний являются структурная матрица и параметры ветвей. Структурная матрица, преобразованная в соответствии приоритетом выбора ветвей дерева Е®С®R®L®J называется фундаментальной матрицей контуров, субблок Т которой для эквивалентной схемы замещения имеет вид:

Несколько слов об используемых далее обозначениях. Токи ветвей объединены в векторе I, его элементарные блоки указываются соответствующими индексами (например, I^X_C, I^D_C, I^X_L), а составные блоки - перечислением индексов. Например, . В этот же вектор внесены токи ветвей источников тока (I^X_J, I^D_J).

Напряжения ветвей дерева объединены в векторе U, который образован так же, как вектор I. В этот же вектор включены напряжения ветвей - источников (U^X_E, U^D_E). Источники тока и напряжения, входящие в C-, R,- L-ветви, обозначаются соответственно J и E (например, E^X_L, E^D_R, J^X_R, J^D_R и т.д.). Сопротивления и проводимости ветвей обозначаются соответственно R и G (например, R^X_L, G^D_C, R^D_R и т.д.).

Составные блоки матрицы Т, состоящие из "элементарных" блоков, указываются перечислением соответствующих индексов. Например,

Значения правых частей дифференциальных уравнений объединены в векторе F.

Расчетные формулы организованы так, что в начале вычисляются величины, определенные на R-ветвях (эти величины выражаются через переменные состояния), а затем - величины, определенные на С-ветвях и L-ветвях (здесь кроме переменных состояния используются величины, определенные на R-ветвях). В явном виде матрица системы дифференциальных уравнений не формируется. Начнем с уравнений для R-ветвей,

Уравнения соединений для R-подцепи имеют вид:

(3.141)

уравнения R-ветвей:

(3.142)

Из (3.141) и (3.142) получаем:

; (3.143)

; (3.144)

, (3.145)

. (3.146)

Аналогичным образом получаются уравнения для расчета С и L-подцепи:

Таким же путем можно получить расчетную систему уравнений в общей канонической форме, где матрицы коэффициентов формируются в явном виде:

;

; (3.170)

где x = (I^X_L, U^D_L) - вектор переменных состояния;

v = (I^X_J, U^D_E) - вектор источников;

y = (I^X_C, I^X_R, U^D_R, U^D_L) - вектор алгебраических переменных частной схемы замещения;

Матрицы коэффициентов вычисляются следующим образом (для краткости записи дополнительные потери и источники в L-, C-, R-ветвях не учитываются, что не имеет принципиального значения):

; (3.171)

; (3.172)

; (3.174)

; (3.175)

где Y_C, Y_R, Y_L, - матрицы структурных параметров

Определение токов ветвей дерева и напряжений ветвей хорд определяется по формулам:

(3.180)

Выводы. 1. Упорядоченная в соответствии с установленным приоритетом ветвей фундаментальная матрица контуров содержит в удобной форме все необходимые для расчета цепи с идеальными клю­чами данные по структуре цепи. Программу для моделирования таких цепей целесообразно строить, используя процедуру упорядочения ФМК, действующую после каждого переключения. При этом не возникает необходимости хранить отдельно описание структуры полной цепи и частной эквивалентной цепи, а также необходимость в привлечении какой-либо процедуры формирования топологических матриц.

Дата добавления: 2015-08-03